Über die Anwendung der Variationsrechnung in der Theorie der Eigenschwingungen und über neue Klassen von Funktionalgleichungen. (Q1451139)

Die Theorie der auf lineare Bedingungsgleichungen führenden Eigenwertprobleme wird vom Standpunkt der Variationsrechnung aus behandelt. Sehr viele Fragen, insbesondere die Darstellung willkürlicher Funktionen durch Eigenfunktionen, das Anwachsen der Eigenwerte usw. gestatten von hier aus eine einfache Beantwortung. \textit{Courant} verwendet dabei ähnliche Ideen, wie sie schon in seinem Buche mit \textit{Hilbert} über Methoden der mathematischen Physik I, Berlin 1924 (F. d. M. 50, 335 (JFM 50.0335.*)) auseinandergesetzt werden. Jedoch geht die vorliegende Abhandlung insofern darüber hinaus, als erstens der Problemkreis durch Zulassung linearer Probleme vom Integro-differentialfunktionaltypus allgemeinerer Art erweitert wird und neue \textit{Existenz}beweise mit der Methode der \textit{endlichen Differenzen} erbracht werden, die diesen Hauptpunkt der Theorie in zwangloser Weise erledigen. (Ausgeführt sind die Beweise allerdings nur für Probleme mit \textit{einer} unabhängigen Variablen.) Es zeigt sich, daß die Lösungen der approximierenden Probleme gleichmäßig gegen Grenzfunktionen konvergieren. Weiter gehorchen sie entsprechenden Variationsgleichungen, in denen man wegen der gleichmäßigen Konvergenz den Grenzübergang machen kann; woraus dann hervorgeht, daß die Grenzfunktion Lösung des ursprünglichen Variationsproblems ist. Wesentlich ist die Linearität der Probleme.