Sur l'extension du théorème limite du calcul des probabilités aux sommes de quantités dépendantes. (Q1451166)

Die vorliegende Arbeit schließt sich an die des Verf. ``Sur le théorème limite du calcul des probabilités'' [Math. Ann. 85, 237--241 (1922; JFM 48.0599.02))] an und beschäftigt sich mit einigen Erweiterungen des ersten Fundamentalsatzes der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Im ersten Teil der Arbeit wird ein Beweis des genannten Satzes in der Fassung von \textit{A. Liapounoff} gegeben [Mém. Acad. St. Petersbourg (8) 12, Nr. 5, 24 S. (1902; JFM 33.0248.07)], deren wesentlichster Zug darin besteht, daß die Kleinheit der einzelnen Summanden im Verhältnis zur Wurzel aus der mathematischen Erwartung des Quadrats der Summe gefordert wird. Im zweiten, wichtigsten Teil wird der Anwendungsbereich des Hauptsatzes im Falle nicht unabhängiger Summanden untersucht. Hier interessiert eine praktisch wichtige Vereinfachung (z. B. Markoffsche Ketten): Es wird nur die Abhängigkeit genügend benachbarter und die Unabhängigkeit genügend entfernter Summanden gefordert. In diesem Falle gilt der Satz: Es genüge \(S_n=x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n\) den Bedingungen: 1. \(B_n =\mathfrak M(S_n^2) > M\cdot n^s\) mit \(\lambda > \frac23\); 2. \(x_i\) und \(x_{i+g}\) seien unabhängig, wenn \(g > H\cdot n^\varrho\)\quad \(\left(\varrho < \dfrac\lambda2\right)\); 3. wie auch der Wert der bereits bekannten \(x_i\) sei, die mathematische Erwartung von \(|x_k^s|\) mit \(k > i\) bleibe kleiner als eine feste Zahl \(L\); 4. wie auch der Wert der bekannten \(x_i\) sei, sei für \(k > i\) \[ \mathfrak M'(x_{k+1}+\ldots+x_{k+g})^2<N\cdot g^\lambda, \] wenn \(\lambda\le1\) und \[ \mathfrak M'(x_{k+1}+\cdots+x_{k+g})^2<N\cdot g\cdot n^{\lambda-1}, \] wenn \(\lambda>1\). Dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit der Ungleichung \[ z_0\cdot\sqrt{2B_n}<S_n<z_1\sqrt{2B_n} \] geht im Limes mit \(n\) gegen \[ \frac1{\sqrt\pi}\cdot\int\limits_{z_0}^{z_1}e^{-z^2}\,dz \] \((M\), \(H\), \(N\) sind feste Zahlen). Im allgemeinsten Falle genereller Abhängigkeit der einzelnen Summanden gilt derselbe Satz, sofern folgende Voraussetzungen erfüllt sind: 1. Wie oben; 2. fällt weg; 3. wie oben; 4. wie auch der Wert bereits bekannter \(x_i\) sei, es gibt ein \(N\) derart, daß die Ungleichungen gelten: \[ \mathfrak M'(x_{i+1}+\ldots+x_{i+g})^2<N g^\lambda \] oder \[ \mathfrak M'(x_{i+1}+\cdots+x_{i+g})^2<Ng n^{\lambda-1} \] für \textit{jedes} \(g\); 5. wie auch der Wert der bekannten \(x\) sei, ist für \(i - k> n^\varrho\) (wo \(\varrho<\dfrac\lambda2\) eine positive feste Zahl ist) die Schwankung der mathematischen Erwartung von \(x_i\) nicht größer als \(\dfrac1{n^\mu}\), wobei \(\mu=1-\dfrac\lambda2\), und ist ferner \(j-k>n^\varrho\), so überschreitet die Schwankung der mathematischen Erwartung von \(x_i\cdot x_j\) nicht \(\dfrac1{n^{2-\lambda}}\). Im dritten Teil untersucht Verf. die Verallgemeinerungsfähigkeit der Hauptsätze bei einer Summe von zwei Summanden, deren jede aus \(n\) Summanden, die ganz oder teilweise abhängig sind, besteht. Das Ergebnis, das für die Theorie der Normalkorrelation und ihre Anwendung wichtig ist, ist, daß sich die Sätze sinngemäß übertragen lassen, sofern die Schwankung der mathematischen Erwartung des Produkts entsprechender Summanden beschränkt ist.