A new from of the frequency function. (Q1451175)

Verf. hatte früher zwei Typen \(A\) und \(B\) der Frequenzfunktion gegeben, für den Fall, daß die Fehlerverteilung nicht die bekannte ideale \[ \varphi=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\tfrac{X^2}2}\qquad \Big(X=\frac{x-n}\sigma\Big), \] sondern eine durch zuschüssige Einflüsse von gewissen Reihen von Elementarfehlern systematischer Art modifizierte ist. Die \(A\)-Form ist der Hypothese des Verf. nach \[ f(x)=\varphi(x)+\sum_{r=3}^\infty A_r\varphi^r(x), \tag{1} \] wo definitionsgemäß \[ \varphi^r(x)=\frac{\partial^r\varphi}{\partial x^r}, \] und wird mit Hilfe des \textit{Laplace}schen Integrals \[ \varphi(x)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} d\omega\,e^{-(x-a_1)i\omega+a_2i^2\omega^2}, \] die zur idealen Form \[ \varphi(x)=\frac1{\sqrt{4\pi a_2}}\,e^{-\tfrac{(x-a_1)^2}{4a_2}} \] führt, leicht abgeleitet. Infolge von Ungelegenheiten praktischer Art, die der Form \(A\) eigen sind, z. B. daß unter Umständen die Frequenz negativ ausfallen kann und daß die Reihenfolge der Koeffizienten \(A_r\) öfters eine einfach systematische Konvergenz nicht darbieten, hat Verf. eine neue Form -- den \(C\)-Typus -- ausgearbeitet. Dies geschieht durch Einführung der sogenannten \textit{Hermite}schen Polynome \(H_r(x)\), indem der Hypothese des Verf. nach die Frequenzfunktion als \[ f(x)=e^{\varSigma\,\gamma_rH_r(x)} \tag{2} \] angenommen wird. (Form \(C\) der Frequenzfunktion.) Die \textit{Hermite}schen Polynome \(H_r(x)\) werden durch sukzessive Differentiation von \[ \varphi_0=\frac1{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\tfrac{X^2}2} \] als Faktoren zu der letztgenannten Größe erhalten und sind, wie man leicht findet, die folgenden: \[ \begin{aligned} H_0& = 1,\\ H_1& = X,\\ H_2& = X^2-1,\\ H_3& = X^3 - 3X,\\ H_4& = X^4- 6X^2+3,\\ H_5& = X^5 - 10X^3+15X,\\ &\hdots \end{aligned} \] In der Formel (2), die jetzt angenommen wird, sind die Koeffizienten \(\gamma_r\) mittels des in jedem Falle vorliegenden statistischen Materials aus der Formel \[ \gamma_r=\frac{(-1)^r}{|\underline{\,\,r}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \log f(X)\,\varphi_r(X)\,dX \] zu ermitteln. Die Frequenz bleibt jetzt gemäß (2) positiv. Zwei Beispiele der Methode werden beigegeben. Besprechung: J. O. J., Journal Royal Statistical Soc. 93 (1930), 118-120.