Das Bertrandsche Paradoxon in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. (Q1451205)

Das \textit{Bertrand}sche Paradoxon stellte die Frage nach der Möglichkeit der eindeutigen Bestimmung der geometrischen Wahrscheinlichkeit. Für den Fall der willkürlichen Geraden bezeichnet \textit{H. Poincaré} die Wahrscheinlichkeit mittels des Integrals \[ S=\int\!\int\varphi(x,y)\,dx\,dy\cdots(1), \] wo \(x\) und \(y\) die Koordinaten der Geraden sind und \(\varphi(x,y)\) eine gänzlich willkürliche Funktion bleibt. Das Ziel dieser Abhandlung besteht darin, unter den verschiedenen Funktionen \(\varphi(x,y)\) eine bestimmte zu wählen. Als Ausgangspunkt dient dem Verf. folgendes Prinzip: Die Definition der geometrischen Wahrscheinlichkeit muß für die gleichen geometrischen Figuren bei jeder Lage gleiche numerische Werte der Wahrscheinlichkeit geben. Dieses Prinzip auf das Integral von \textit{Poincaré} anwendend, gelangt Verf. zum folgenden Theorem: Für jedes Koordinatensystem existiert eine einzige Funktion \(\varphi\), für die das Integral (1) zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit dienen kann. (Siehe das auf S. 526 besprochene Buch von \textit{R. Deltheil}.)