Sopra una formula di calcolo delle prababilità. (Q1451206)

Man habe \(n\) Variable \(y_1\),\dots, \(y_n\). Ihre statistische Verteilung sei gegeben durch \(\varphi_i(y_i)\) (\(i=1\),\dots, \(n\)) \(\Big(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi_i(y_i)\,dy_i=1\Big)\). Außerdem sei \(\overline{y}_i=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}y_i\varphi_i(y_i)\,dy_i\) und man setze \[ \overline{y}_i^2=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}y_i^2\varphi_i(y_i)\,dy_i=K_i^2. \] Es zeigt sich dann, daß die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Bestehen der Ungleichungen \[ y_1\leqq a,\quad y_1+y_2\leqq a,\dots, y_1+y_2+\cdots+y_n\leqq a \] gegeben ist durch den angenäherten Ausdruck \[ \begin{aligned} W&=\frac2{\sqrt{\pi}}\qquad\int\limits_a^\infty e^{-x^2}dx\qquad(a\gg K_i).\\ &\qquad\quad\overline{\sqrt{2\sum\limits_1^nK_i^2}} \end{aligned} \]