On the distribution of the regression coefficient in samples from normal population. (Q1451259)

In dieser Arbeit stellt Verf. folgende Sätze auf: 1. Das Verteilungsgesetz des empirischen Regressionskoeffizienten \(\overline{\varrho}_{yx}\) hat die Form: \[ v=\frac{(1-r^2)^{\frac{s-1}2}}{\sqrt{\pi}} \frac{\varGamma\left(\dfrac s2\right)}{\varGamma\left(\frac{s-1}2\right)} \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \left[1-r^2+\left(r-\frac{\sigma_x}{\sigma_y}u\right)^2\right]^{-\frac s2}, \] wo \(r\) der Korrelationskoeffizient, \(s\) die Zahl der Versuche, \(\sigma_x\) und \(\sigma_y\) die mittleren Abweichungen sind. 2. Die Momente des \(\overline{\varrho}_{yx}\) erhalten folgende Ausdrücke: \[ \begin{aligned} P_{2\nu}=& \frac{(2\nu)!\varrho^{2\nu}}{2^{\nu}} \left(\frac{\mu_{02}}{\mu_{20}}\right)^{\nu} \sum_{p=0}^{\nu} \frac{2^p\left(\dfrac r\varrho\right)^{2p}} {(2p)!(\nu-p)!(s-3)(s-5)\ldots(s-2\nu+2p-1)},\\ P_{2\nu+1}=& \frac{(2\nu+1)!\varrho^{2\nu+1}}{2^{\nu}} \left(\frac{\mu_{02}}{\mu_{20}}\right)^{\nu+\frac12} \sum_{p=0}^{\nu} \frac{2^p\left(\dfrac r\varrho\right)^{2p+1}} {(2p+1)!(\nu-p)!(s-3)\ldots(s-2\nu+2p-1)}. \end{aligned} \] 3. Aus diesen Ausdrücken findet man leicht die Mittelwerte von \(\overline{\varrho}_{yx}\) und die mittlere Abweichung von \(\overline{\varrho}_{yx}\). 4. Das Verteilungsgesetz der \(\overline{\varrho}_{yx}\) nähert sich mit wachsendem \(s\) der \textit{Gauß}schen Form.