Beiträge zur gruppentheoretischen Begründung der Geometrie. II: Spiegelungen auf der Kugel. (Q1451437)

Auf einer Fläche vom Zusammenhang der Kugel werden Spiegelungen durch die folgenden Forderungen erklärt: 1. Spiegelungen sind topologische Abbildungen, welche die Indikatrix umkehren. 2. Jede Spiegelung hat mindestens einen Fixpunkt. 3. Jede Spiegelung ist periodisch. 4. Sind \(A\) und \(B\) Fixpunkte einer Spiegelung, so gibt es eine Spiegelung, welche \(A\) in \(B\) überführt. 5. Sind \(A\) und \(B\) zwei verschiedene Punkte und \(A_n\), \(B_n\) die beiden Folgen von Punkten, in welche \(A\), \(B\) bei einer Folge von Spiegelungen transformiert werden, und konvergiert \(A_n\) gegen \(A^\ast\), so ist \(A^\ast\) nicht Haufungspunkt der Folge \(B_n\). Es wird gezeigt, daß die Spiegelungen die Periode 2 besitzen und daß die Fixpunkte einer Spiegelung eine \textit{Jordan}kurve bilden, die der zur Spiegelung gehörige \(S\)-Kreis genannt wird. Zwei \(S\)-Kreise haben stets zwei Punkte gemeinsam, und durchsetzen sich in diesen Punkten. Jeder \(S\)-Kreis \(K\) besitzt zwei Mittelpunkte \(M\) und \(M^\ast\), die bei der Spiegelung am Kreis miteinander vertauscht werden. Die \(Z\)-Kreise durch \(M\) und \(M^\ast\) überdecken die Fläche glatt, sie gehen jeder bei der Spiegelung an \(K\) in sich über.