Vektorfelder in \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. (Q1451460)

Die Indexsumme der Singularitäten eines stetigen Feldes von Tangentialvektoren an eine stetig differenzierbare geschlossene unberandete orientierbare Mannigfaltigkeit ist, wie \textit{Poincaré} im Falle der Flächen (Journ. de Math. (4) l (1885), 167-244; F. d. M. 17, 680 (JFM 17.0680.*)), \textit{L}. \textit{E}. \textit{J}. \textit{Brouwer} für die \(n\)-dimensionale Kugel (Math. Ann. 71 (1911), 97- 115, F. d. M. 42, 417 (JFM 42.0417.*)-418), Verf. für \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeiten im \((n + 1)\)-dimensionalen euklidischen Raum (Math. Ann. 95 (1925), 340-367; F. d. M. 51, 566 (JFM 51.0566.*)-567) gezeigt und \textit{Hadamard} für \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeiten im \((n + k)\)-dimensionalen Raum ohne Beweis angegeben hat (``Note sur quelques applications de l'indice de Kronecker'' in \textit{Tannerys} ``Introduction à la théorie des fonctions d'une variable'' II, 2. éd. 1910; F. d. M. 41, 314), eine topologische Invariante der Mannigfaltigkeit. Für den allgemeinen Fall geschlossener (berandeter oder unberandeter) Mannigfaltigkeiten wird hier -- übrigens unabhängig von der Einbettung in einen höherdimensionalen Raum (was jedoch keine wesentliche Verallgemeinerung des \textit{Hadamard}schen Satzes bedeutet) -- die Invarianz der Indexsumme bewiesen und deren Wert, in Übereinstimmung mit den Ergebnissen bei den früher behandelten speziellen Fällen, als die \textit{Euler}sche Charakteristik der Mannigfaltigkeit bestimmt. Verf. deutet die tangentiellen Vektorfelder einer \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(M^n\) als ``kleine Transformationen'' der \(M^n\) in sich. Von dieser Deutung aus gelangt er, auch bei abstraktem Aufbau der \(M^n\) aus Simplexen mit Identifikationsvorschriften, zu einer Definition des stetigen Vektorfeldes in \(M^n\), die so gefaßt ist, daß sie auch für beliebige Komplexe \(C^n\) (in denen es im allgemeinen stetige Vektorfelder im gewöhnlichen Sinne nicht gibt) sinnvoll bleibt; Verf. spricht daher von ``komplexstetigen'' Vektorfeldern. Das ist deshalb von Bedeutung, weil der Beweis des grundlegenden Satzes I auf einem Induktionsschluß beruht, bei dem aus der Gültigkeit des Satzes für den Komplex \(C^{n-1}\) der in \(C^n\) enthaltenen \((n 1)\)-dimensionalen Simplexe auf die für \(C^n\) geschlossen wird und \(C^{n-1}\) auch dann keine Mannigfaltigkeit ist, wenn \(C^n\) eine Mannigfaltigkeit ist. Satz I: Die Indexsumme der Singularitäten eines in \(C^n\) komplexstetigen Vektorfeldes ist gleich der mit \((- 1)^n\) multiplizierten \textit{Euler}schen Charakteristik von \(C^n\). Für kleine Transformationen von Mannigfaltigkeiten bedeutet das: Die Summe der Indices einer hinreichend kleinen Transformation der geschlossenen Mannigfaltigkeit \(M^n\) in sich ist, wenn nur endlich viele Fixpunkte auftreten, gleich der mit \((- 1)^n\) multiplizierten \textit{Euler}schen Charakteristik der \(M^n\) (Satz II). Die topologische Invarianz des Fixpunktindex hat Verf. (l. c.) bewiesen; da man auf Grund der vom Verf. in der vorstehend besprochenen Arbeit behandelten Randwertaufgaben für Vektorverteilungen stets beliebig kleine Transformationen mit endlich vielen Fixpunkten herstellen kann, ergibt sich hieraus ein neuer Zugang zum Beweis der topologischen Invarianz der \textit{Euler}schen Charakteristik (Satz III). Die Randwertaufgaben für Vektorverteilungen liefern noch mehr: Man kann auf der \(M^n\) endlich viele Punkte als Fixpunkte, dazu ganze Zahlen als deren Indices vorschreiben; wenn nur die vorgeschriebene Indexsumme gleich dem \((-1)^n\)-fachen der \textit{Euler}schen Charakteristik ist, gibt es beliebig kleine Transformationen mit den vorgeschriebenen Fixpunkten und Indices (Satz IV). Ist insbesondere die \textit{Euler}sche Charakteristik Null, (und nur dann) gibt es beliebig kleine fixpunktfreie Transformationen der \(M^n\); das gilt also z. B. für geschlossene unberandete Mannigfaltigkeiten ungerader Dimension. Alle diese Ergebnisse sind auf \textit{Riemann}sche Mannigfaltigkeiten anwendbar, wenn man statt der komplexstetigen Vektorfelder im gewöhnlichen Sinn stetige Vektorfelder betrachtet (Satz V). Nimmt man insbesondere den von einer geschlossenen unberandeten Hyperfläche \(M^{n-1}\) ohne Selbstdurchdringungen begrenzten Teil des Raumes, so ist ein in \(M^n\) definiertes Vektorfeld auf \(M^{n-1}\) nirgends nach außen gerichtet, und der Grad der durch diese Vektoren vermittelten Abbildung der \(M^n\) auf die Richtungskugel, der die Indexsumme bestimmt, ist das \(( 1)^n\)-fache der Charakteristik von \(M^n\), der Grad einer Abbildung der \(M^{n-1}\) auf die Richtungskegel durch ein Feld von nirgends nach innen gerichteten Vektoren, d. h. die Curvatura integra von \(M^{n-1}\) (vgl. die anfangs genannte Arbeit des Verf.), also gleich der \textit{Euler}schen Charakteristik von \(M^n\) (Satz VI). Ferner ist nach früheren Ergebnissen des Verf. die Curvatura integra einer geschlossenen, nicht notwendig doppelpunktfreien stetig differenzierbaren Hyperfläche gerader Dimension \(2k\) im \((2k + 1)\)-dimensionalen Raum gleich der halben Indexsumme der Singularitäten eines tangentiellen Vektorfeldes, d. h. also gleich der halben \textit{Euler}schen Charakteristik einer \(M^{2k}\), deren Modell sie ist (Satz VII). Wegen der Ganzzahligkeit der Curvatura integra besitzt also eine \(M^{2k}\) von ungerader Charakteristik im \((2k + 1)\)-dimensionalen Raum auch bei Zulassung von Selbstdurchdringungen keine stetig differenzierbare Hyperfläche als Modell (Satz VIII).