Les reseaux (ou graphes). (Q1451478)

Das vorliegende Memorialheft behandelt teils referierend, teils mit kurzen Beweis angaben, einen speziellen Teil der kombinatorischen Topologie, die Theorie der Streckenkomplexe, die dank ihrer Anwendungen auf verschiedene kombinatorische Fragestellungen eine weitgehende Untersuchung -- vielfach unabhängig von der allgemeinen kombinatorischen Topologie -- erfahren hat. Naturgemäß beginnt der Bericht nach einer allgemeinen Einleitung mit einer Zusammenstellung von der Theorie der Streckenkomplexe eigenen Begriffsbildungen und Bezeichnungen (I: Introduction et définitions). Dann werden (II: Arbres) die Baumkomplexe behandelt: Aufbau der Baumkomplexe aus einfachen Streckenzügen, Anzahl der verschiedenen Baumkomplexe bei gegebener Anzahl der Verzweigungspunkte und Ähnliches. Die Frage, wann und auf wie viele Arten ein Komplex in einem einzigen Zuge durchlaufen werden kann, und verwandte Fragen kommen im folgenden Abschnitt (III: Chaines et circuits) zur Sprache. Diejenigen Komplexe, deren Ecken alle von gleichem Grad (d. h. Endpunkte von gleichvielen Strecken) sind, sind besonders eingehend untersucht; Verf. bringt hier zunächst Eigenschaften spezieller regulärer Komplexe, z. B. der vollständigen Komplexe (in denen je zwei Punkte durch eine Strecke verbunden sind) und der polygonalen Komplexe (die eine gewisse Rotationssymmetrie besitzen), dann aber auch allgemeine Untersuchungen, vor allem über die Zerlegung der regulären Komplexe in reguläre Komplexe geringeren Grades (IV: Réseaux réguliers). Für kubische Komplexe, die den Gegenstand des folgenden Abschnitts (V: Réseaux cubiques) bilden, ist in dieser Richtung die wichtigste Aussage der Satz von \textit{Petersen} (Acta Math. 15 (1891), 193-220; F. d. M. 23, 115 (JFM 23.0115.*)-117). Auf das Vierfarbenproblem, für das die kubischen Komplexe von Bedeutung sind, geht Verf. nicht ein, weil eine ausführliche Darstellung dieses Problems einem anderen inzwischen erschienenen Memorialheft vorbehalten ist (``Géométrie de situation et jeux'', 1929; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 974). Im Abschnitt VI (Tableaux) werden aus der Inzidenzmatrix eines Streckenkomplexes spezielle Eigenschaften abgelesen. (Hier, wie auch an einigen anderen Stellen, könnte man vielleicht bedauern, daß Verf. die Gelegenheit, eine Verbindung mit in der kombinatorischen Topologie allgemein üblichen Begriffsbildungen herzustellen, unbenutzt läßt.) Unter dem Titel ``Réseaux cerclés'', der solche Komplexe bezeichnet, deren sämtliche Ecken auf einem einfach geschlossenen Streckenzug liegen, werden in Abschnitt VII Zusammenhänge zwischen Streckenkomplexen und Permutationen dargestellt. Anwendung auf das Briefmarkenproblem: Auf wieviele Arten kann man einen Streifen von \(n\) Briefmarken auf die Größe einer einzigen Marke zusammenfalten? Die beiden letzten Abschnitte VIII: Échiquier und IX: Marche du cavalier enthalten Anwendungen auf das Schachspiel. Es handelt sich um Aufgaben von der Art des Acht-Damen-Problems und um den Rösselsprung. (Für weitere Anwendungen der Theorie der Streckenkomplexe vgl. das oben erwähnte Memorialheft des Verf.) -- Sehr ausführlich ist das Literaturverzeichnis, mit dem das Heft schließt.