Knoten und Gruppen. (Q1451486)

Verf. stellt hier ein von ihm inzwischen weiter ausgebautes Verfahren (M. Z. 29 (1929), 713-729; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 973) dar, aus der Knotengruppe, d. h. der Fundamentalgruppe des Außenraumes eines Knotens, die ja unmittelbar aus der Knotenprojektion abgelesen werden kann, nicht triviale Knoteninvarianten zu berechnen. Ein formales Kriterium für Invarianten einer diskontinuierlichen Gruppe (das übrigens erst in der nachstehend besprochenen Arbeit benutzt wird) folgt aus dem Satz: \(\mathfrak F\) sei die durch das Erzeugendensystem \(S_1\), \(S_2\), \dots, \(S_n\) mit den definierenden Relationen \(F_i(S) = 1\) (\(i = 1\), 2, \dots, \(r\)) erklärte Gruppe; dann und nur dann erklären die Elemente \(T_\mu(\mu = 1, 2,\dots, m)\) mit den definierenden Relationen \(G_k\,(T)=1\) (\(k = 1\), 2, \dots, \(s\)) eine zu \(\mathfrak F\) isomorphe Gruppe, wenn sie durch endlich oft wiederholte Anwendung der folgenden Prozesse aus dem System der \(S_\nu\) und \(F_i(S)=1\) hervorgehen: (1) Erweiterung bzw. Reduktion erster Art: Eine Relation \(F_{r+1}\,(S) = 1\), die aus dem System \(F_i (S) = 1\) folgt, wird dem Relationensystem hinzugefügt, bzw. es wird aus dem Relationensystem eine Folgerelation der übrigen Relationen weggelassen. (2) Erweiterung bzw. Reduktion zweiter Art: Es wird eine Erzeugende \(S_{n+1}=L\) (\(S_1\), \dots, \(S_n\)) und zugleich eine Relation \(S_{n+1}^{-1}L\,(S_1,\dots,S_m)\) hinzugefügt, bzw. es wird eine Relation der angegebenen Art und eine nur in ihr auftretende Erzeugende weggelassen. Invarianz gegenüber den Prozessen (1) und (2) ist also charakteristisch für Invarianten der Gruppe. Ein Konstruktionsprinzip für invariante Untergruppen liefert der Satz: Ist eine zu der Gruppe \(\mathfrak F\) homomorphe endliche Gruppe \(\mathfrak G\) mit den Elementen \(s_1\), \dots, \(s_{g-1}\), \(s_g=1\) bekannt und weiß man ferner, welche Elemente \(s_\gamma\) den Erzeugenden \(S_i\) zugeordnet sind, so kann man eine invariante Untergruppe \(\mathfrak g\) von \(\mathfrak F\) herstellen die \(\mathfrak G\) als Faktorgruppe besitzt. Es sei nun \(\mathfrak F\) eine Gruppe, für die die Faktorgruppe nach der Kommutatorgruppe die freie Gruppe einer Erzeugenden \(C\) ist. (Das trifft insbesondere für die Knotengruppen zu.) Diejenigen Elemente von \(\mathfrak F\), denen die Elemente \(C^{\pm ng}\) (\(g\) fest; \(n = 0\), 1, 2, \dots ) zugeordnet sind, bilden eine invariante Untergruppe \(\mathfrak g\), deren Faktorgruppe \(\mathfrak G\) die endliche zyklische Gruppe der Ordnung \(g\) ist. Für diese Gruppe \(\mathfrak g\) wird das Verfahren des obigen Satzes genauer durchgeführt. Ist insbesondere \(\mathfrak F\) eine Knotengruppe mit den Erzeugenden \[ C_1,\,C_2,\dots,C_n \] und Relationen der Form \[ K_\nu\,(C)=C_{\lambda+1}^{-1}\,C_\mu^\varepsilon\,C_\lambda\, C_\mu^\varepsilon\qquad (\varepsilon=\pm1;\;\nu=1,2,\dots,n) \] (Verf. verwendet hier das von \textit{Wirtinger} herrührende Verfahren zur Bestimmung der Knotengruppe; vgl. \textit{E}. \textit{Artin}, Abhandlungen Hamburg 4 (1925), 47-72, insbesondere S. 57-62; F. d.M. 51, 450), so wird die Gruppe \(\mathfrak g\), die Verf. in diesem Falle mit \(\mathfrak K_g\) bezeichnet, erzeugt durch \[ \begin{aligned} C_{g-1,1}&=C_1,\\ C_{g,k}&=C_kC_1^{-1},\\ C_{i,k}&=C_1^iC_kC_1^{-i-1},\\ C_{i,g-1}&=C_1^{g-1}C_i\end{aligned}\qquad\quad (k=2,\dots,n;\;i=1,\dots,g-2) \] mit Relationen, die man erhält, wenn man \[ C_1^i\,K_\nu\,C_1^{-i}\quad (\nu=1,2,\dots,n;\;i=0,1,\dots,g-1) \] durch die \(C_{i,k}\) ausdrückt und gleich 1 setzt. \(\mathfrak K_g\) läßt sich als Fundamentalgruppe des \(g\)-fach überdeckten Knotenaußenraums deuten (vgl. hierzu das Referat in F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 973); man hat dazu den Raum längs eines von dem Knoten berandeten (sich selbst durchdringenden) Halbzylinders aufzuschneiden und \(g\) Exemplare des aufgeschnittenen Raumes zyklisch zusammenzuheften. Die Homologieklassengruppe dieses Überlagerungsraumes, d. h die Faktorgruppe nach der Kommutatorgruppe von \(\mathfrak K_g\), liefert mit ihren Torsionszahlen nicht triviale berechenbare Knoteninvarianten. Als Beispiele werden die alternierenden Torusknoten und die alternierenden Brezelknoten mit gerader Anzahl von Überkreuzungen (in einer gewissen Normalform der Projektion) behandelt.