Elementare Begründung der Knotentheorie. (Q1451487)

Verf. beginnt mit der Definition der ``Deformation'' eines einfach geschlossenen Polygons im dreidimensionalen Raume und der Untersuchung der einer Deformation entsprechenden Abänderungen der regulären (d. h. nur einfache Doppelpunkte besitzenden) normierten (d. h. in den Doppelpunkten mit der Festsetzung oben -- unten versehenen) Knotenprojektion, die sich bekanntlich auf drei einfache Operationen zurückführen lassen. Es wird dann zu gegebener Knotenprojektion die (im vorigen Referat erwähnte \textit{Wirtinger}sche Form der) Knotengruppe formal aufgestellt. Um zu zeigen, daß die Knotengruppe eine Invariante des Knotens ist, wird die Änderung der Knotengruppe bei den drei elementaren Abänderungen der Knotenprojektion untersucht; es zeigt sich, daß diese Abänderungen in dem System der Erzeugenden und definierenden Relationen der Knotengruppe Erweiterungen und Reduktionen erster und zweiter Art (vgl. vorstehendes Referat) bewirken, woraus nach dem Kriterium der vorstehenden Arbeit die Invarianz der Gruppe gegenüber Deformationen des Knotens folgt. Dabei treten infolge der speziellen Form der Relationen nur Erweiterungen und Reduktionen zweiter Art von einer speziellen Form auf. Infolgedessen sind alle Erzeugenden \(C_\varrho\) als Transformierte einer von ihnen darstellbar: \(C_\varrho=L_\varrho\,C_1\,L_\varrho^{-1}\). \(L_1\) ist mit \(C_1\) vertauschbar, und wenn es in der zu einer anderen Projektion gehörigen isomorphen Fundamentalgruppe eine der \(C_1\) entsprechende Erzeugende \(\overline{C}_1\) gibt, so hat das entsprechende \(\overline{L}_1\) die Form \(L_1\,C_1^k\); man erhält auf diese Weise eine gewisse Klasse von mit \(C_1\) vertauschbaren Elementen. Ohne die Gruppe heranzuziehen, kann man, allein aus der Invarianz gegen die elementaren Abänderungen der Knotenprojektion, gewisse Größen als Knoteninvarianten erkennen. Verf. gibt als Beispiel eine Matrix an, deren Elementarteiler die Torsionszahlen der in der vorangehenden Arbeit behandelten Gruppe \(\mathfrak K_g\) sind.