La notion de dérivée comme base d'une théorie des ensembles abstraits. (Q1451496)

Bei der Grundlegung der Topologie der abstrakten Räume kann man von verschiedenen Grundbegriffen -- z. B. dem der Umgebung, des Limes, der abgeschlossenen Hülle usw. -- ausgehen. In der vorliegenden Arbeit macht Verf. den Begriff der abgeleiteten Menge zum Ausgangspunkt der Untersuchung. Wenn man nur weiß, daß in dem Raume jeder Teilmenge eine gewisse (evtl. leere) Teilmenge des Raumes als ihre Ableitung zugeordnet ist, so kann man damit schon eine Reihe mengentheoretischtopologischer Begriffe definieren: die stetige Abbildung und die Homöomorphie, abgeschlossene, in sich dichte, perfekte usw. Mengen, zusammenhängende Mengen. -- Ohne irgendwelche Spezialisierung der abgeleiteten Menge lassen sich einige Sätze beweisen: Das stetige Bild einer zusammenhängenden Menge ist zusammenhängend. Die Aufeinanderfolge zweier stetiger Abbildungen ist stetig. Ferner ein Kriterium dafür, daß eine eineindeutige Abbildung eine Homöomorphie ist, sowie die topologische Invarianz der eingeführten Begriffe. Eine Reihe von weiteren Sätzen ergibt sich auf Grund des Monotonie-Axioms: Wenn von zwei Mengen die eine in der andern enthalten ist, dann besteht diese Beziehung auch für die abgeleiteten Mengen. Von den Folgerungen seien nur einige genannt: Der Durchschnitt eines beliebigen Systems abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Die Vereinigungsmenge eines Systems in sich dichter Mengen ist in sich dicht. Jede Menge läßt sich darstellen als Summe ihres in sich dichten Kerns und einer separierten Menge. Abschließend stellt Verf. zum Teil unter Benutzung von drei neuen Axiomen den Zusammenhang zwischen seinen Untersuchungen und anderen Grundlegungen der Topologie der abstrakten Räume her.