Sur une définition géométrique des espaces abstraits affines. (Q1451509)

Verf. betrachtet Räume, in denen ein System von Elementen -- ``Punkten'' -- und dazu ein anderes Feld von Elementen -``Vektoren'' -- gegeben ist, derart, daß für die Vektoren Additon, Multiplikation mit einer reellen Zahl und eine Länge definiert sind, die den üblichen Rechenregeln genügen, und überdies zwischen den Vektoren und den Punktepaaren des Raumes die üblichen Beziehungen bestehen. Es ist klar, daß bei solchen Festsetzungen ein großer Teil der formalen Vektorrechnung ohne weiteres auf die so definierten ``affinen Räume'' übertragen werden kann, insbesondere: Definition der Geraden durch zwei Punkte und der Strecke (die Gerade läßt sich längentreu auf eine euklidische Gerade abbilden), Definition der Ebene durch drei Punkte, Zerlegung der Ebene durch eine Gerade, parallele Geraden, gewisse Parallelogrammsätze, Translationen. Die Ableitung dieser Begriffe und Sätze aus der abstrakten Definition bildet den Gegenstand des ersten Kapitels der Arbeit. Im zweiten Kapitel wird dann ein aus elf Axiomen bestehendes Axiomensystem für die affinen Räume mit Punkten und Geraden als Grundbegriffen aufgestellt, das im wesentlichen die vorher abgeleiteten Sätze als Axiome enthält; daraus wird dann rückwärts das System der Vektoren mit den vorgeschriebenen Rechenregeln konstruiert. Bei der Auswahl der Axiome ist Verf. nach Möglichkeit im Bereich der anschaulichen Tatsachen der Elementargeometrie geblieben; die Frage der Unabhängigkeit ist bewußt außer Acht gelassen worden. -- Zum Schluß bemerkt Verf. noch, daß mit der abstrakten Definition der Vektoren des affinen Raumes geometrisch wenig geleistet ist, da im allgemeinen ein Raum auf mannigfache und zum Teil höchst unnatürliche Weise zu einem affinen Raum gemacht werden kann (z. B. kann man durch eine beliebige eineindeutige Zuordnung zwischen den Punkten der Geraden und der Ebene der Geraden künstlich die Geometrie der Ebene aufprägen).