Sur un problème de M. Fréchet concernant les dimensions des ensembles linéaires. (Q1451511)

Es handelt sich um die Beantwortung der Fragen nach der Existenz eines Dimensionstypus, der dem Typus \(dN\) der Menge aller Irrationalzahlen unmittelbar vorangeht, und nach der Existenz eines Dimensionstypus, der dem der Menge aller Rationalzahlen unmittelbar folgt. Unter Benutzung des Auswahlaxioms wird die Nichtexistenz eines unmittelbaren Vorgängers des Typus \(dN\) bewiesen; ferner wird gezeigt, daß aus der Kontinuumhypothese auch die Nichtexistenz eines unmittelbaren Nachfolgers des Dimensionstypus aller Rationalzahlen folgen würde. Zunächst werden zwei Hilfssätze bewiesen: (I) Ist \(R\) eine Menge von reellen Zahlen von der Mächtigkeit \(\mathfrak c\) des Kontinuums, \(\mathfrak M\) eine Menge höchstens von der Mächtigkeit \(\mathfrak c\), deren Elemente Teilmengen der Mächtigkeit \(\mathfrak c\) von \(R\) sind, so gibt es eine Teilmenge \(Z\) der Mächtigkeit \(\mathfrak c\) von \(R\) derart, daß sowohl \(Z\) als auch \(R - Z\) aus jeder Menge, die Element von \(\mathfrak M\) ist, wenigstens ein Element enthält. (Beweis auf Grund des Wohlordnungssatzes.) (II) Ist \(E\) eine lineare Menge, die keine perfekte Teilmenge enthält, und \(P\) eine lineare perfekte Menge, so hat die Menge \(P - E\) die Mächtigkeit \(\mathfrak c\). Ist nun \(E\) irgendeine nicht abzählbare Menge, für die \(dE < dN\), so sei \(\mathfrak F\) die Familie aller Mengen, die homöomorph sind einer Menge \(E\varGamma\), wo \(\varGamma\) die Gesamtheit der \(G_\delta\)-Mengen durchläuft; ferner sei \(\mathfrak M\) das System der Mengen \(P - T\), wo \(P\) perfekt und \(T\) eine Menge aus \(\mathfrak F\) ist. Nach (II) ist jedes \(P - T\) von der Mächtigkeit \(\mathfrak c\), und man kann auf \(\mathfrak M\) den Hilfssatz (I) anwenden. Ist \(Z\) die nach (I) existierende Menge, so gilt für \(H = E + Z\): \(dE < dH < dN\). -- Dies Ergebnis läßt sich noch verschärfen: Ist \(\mathfrak F\) ein System der Mächtigkeit \(\leqq \mathfrak c\) von Mengen, deren Dimensionstypen kleiner als \(dN\) sind, so gibt es immer eine Menge \(H\), für die \(dH < dN\), aber \(dH\) größer als der Dimensionstypus jeder Menge von \(\mathfrak F\) ist. Dazu braucht man nur eine Menge \(E\) zu konstruieren, für die \(dE < dN\) und \(dE\) mindestens so groß wie jeder bei einer Menge von \(\mathfrak F\) auftretende Dimensionstypus ist, und dann den früheren Satz anzuwenden. Bei der Konstruktion von \(E\) wird der folgende Hilfssatz benutzt: (III) Wenn \(P\) eine ebene beschränkte perfekte Menge ist, deren Projektion auf die \(y\)-Achse keinen perfekten Teil enthält, so gibt es eine Gerade \(y =\) const, die eine perfekte Teilmenge von \(P\) enthält. Das zweite der anfangs genannten Ergebnisse folgt aus dem (ebenfalls auf dem Hilfssatz (I) beruhenden) Satz: Zu jeder linearen Menge \(E\) von der Mächtigkeit des Kontinuums gibt es eine Menge \(Z\) von der Mächtigkeit des Kontinuums derart, daß \(dZ < dE\).