Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes. I. (Q1451514)

Den Inhalt der Arbeit bildet der systematische Aufbau der mengentheoretischen Dimensionstheorie. In einer breit angelegten Einleitung formuliert Verf. die allgemeinen Fragestellungen der mengentheoretischen Topologie der Kontinua, wie sie sich zur Zeit der Entstehung der Arbeit (1921-22) darboten. Hierselbst werden auch die verschiedenen älteren Ansätze in der Richtung der Untersuchungen des Verf. kritisiert. Es werden schließlich alle mengentheoretischen Grundbegriffe, auf denen die weitere Darstellung beruht, zusammengestellt. Im ersten Kapitel gibt der Verf. seine Definition des Dimensionsbegriffes, die der \textit{Brouwer}schen äquivalent ist und sich von ihr im wesentlichen nur dadurch unterscheidet, daß der \textit{Brouwer}sche ``integrale'' Trennungsbegriff ins Lokale übertragen wird. Verf. definiert zuerst den Begriff der \(\varepsilon\)-Aussonderung (``\(\varepsilon\)-séparation'') eines Punktes \(a\) der (metrischen) Menge \(C\) in bezug auf \(C\). Darunter versteht er eine Zerlegung \(C = A + B + D\) der Menge \(C\) in drei disjunkte Summanden \(A\), \(B\), \(D\), von welcher vorausgesetzt wird, daß \(a\) in \(A\) und \(A + B\) in der \(\varepsilon\)-Umgebung von \(a\) liegt und kein Punkt von \(A\) Häufungspunkt von \(D\), kein Punkt von \(D\) Häufungspunkt von \(A\) ist. Sodann wird der Dimensionsbegriff induktiv definiert: Die leere Menge und nur diese heißt \((-1)\)-dimensional; \(C\) heißt im Punkte \(a\) \ \(n\)-dimensional, falls \(n\) die kleinste Zahl von der Eigenschaft ist, daß man bei jedem \(\varepsilon\) den Punkt \(a\) in bezug auf die Menge \(C\) durch eine \((n - 1)\)-dimensionale Menge \(\varepsilon\)-aussondern kann. Ist die Menge \(C\) in jedem ihrer Punkte höchstens \(n\)-dimensional und in mindestens einem Punkte genau \(n\)-dimensional, so ist \(C\) definitionsgemäß \(n\)-dimensional. Im ersten Kapitel wird eine Reihe von elementaren Eigenschaften des so eingeführten Dimensionsbegriffes bewiesen. Das zweite Kapitel ist speziell den Dimensionsverhältnissen in der Ebene und im \(R^3\) gewidmet. Es wird gezeigt, daß im Sinne des neuen Dimensionsbegriffes die Ebene zwei-, der Raum dreidimensional ist und daß die Dimension des \(R^n\) höchstens gleich \(n\) ist. Bei dieser Gelegenheit wird der Begriff einer \(n\)-\textit{dimensionalen Cantorschen Mannigfaltigkeit}, als eines \(n\)-dimensionalen Kontinuums, welches durch keine höchstens \((n - 2)\)-dimensionale Menge zerlegt werden kann, eingeführt. Der Beweis der Dreidimensionalität des \(R^3\) beruht nun in der Darstellung des Verf. auf dem Satz, daß die gemeinsame Begrenzung zweier Gebiete des \(R^3\) stets eine zweidimensionale \textit{Cantor}sche Mannigfaltigkeit ist. Verf. durchbricht die Schwierigkeiten dieses Beweises, indem er die modernen \textit{kombinatorischen} Methoden in der \textit{mengentheoretischen} Topologie in dem Spezialfall, mit dem er sich beschäftigt, gewissermaßen antizipiert. Unterwegs wird auch eine Menge anderer Dinge mitbewiesen -- so z. B. der \textit{Fréchet-Brouwer}sche Satz von der Isotopie der abzählbaren im \(R^n\) dichten Mengen, die Existenz der sogenannten \textit{Antoine}schen Mengen in \(R^3\) u. a. Das dritte Kapitel ist den unzerlegbaren Kontinuen gewidmet, die hier vor allem als Material zur Konstruktion von verschiedenen Beispielen auftreten. Bei dieser Gelegenheit wird ein neues Kriterium für die Unzerlegbarkeit eines irreduziblen Kontinuums gegeben: Das irreduzible Kontinuum \(\overline{\overline{ab}}\) ist dann und nur dann unzerlegbar, wenn es ein Semikontinuum \(S\) enthält mit den folgenden Eigenschaften: \(S\) enthält einen der beiden Punkte \(a\), \(b\) und ist gleichzeitig mit seinem Komplement \(\overline{\overline{ab}} - S\) überalldicht in \(\overline{\overline{ab}}\). Unter den zahlreichen Beispielen, die in diesem Kapitel konstruiert sind, sei nur das folgende erwähnt: Es existiert eine \textit{Cantor}sche Fläche (= zweidimensionale \textit{Cantor}sche Mannigfaltigkeit) und auf ihr ein Punkt \(a\) von der Beschaffenheit, daß es auf \(C\) keine \textit{Cantor}sche Kurve (= eindimensionales Kontinuum) gibt, welches den Punkt \(a\) enthält. Das vierte Kapitel ist den Sätzen über die Verteilung der Punkte, in denen die Dimension der Menge verschiedene Werte hat, gewidmet. Hier wird zuerst der Summensatz bewiesen (der Satz, daß eine \(n\)-dimensionale abgeschlossene Menge nicht als Summe von endlich oder abzählbar-vielen höchstens \((n - 1)\)-dimensionalen abgeschlossenen Mengen dargestellt werden kann). Ferner werden die Kerne verschiedener Dimension für jede abgeschlossene Menge \(F\) definiert: Unter \(N_k(F)\) -dem \(k\)-dimensionalen Dimensionskern von \(F\) -- wird die Menge der Punkte verstanden, in denen \(F\) mindestens \(k\)-dimensional ist. Es wird bewiesen, daß in jedem Punkt von \(N_k(F)\) die Mengen \(F\) und \(\overline{N_k(F)}\) die gleiche Dimension haben. Alle Mengen \(N_k(F)\) sind insichdicht und haben in jedem ihrer Punkte eine positive Dimension. Ferner wird bewiesen, daß die Mengen \(N_k(F)\) \ \ \(F_\sigma\)-Mengen sind. Das fünfte Kapitel ist vielleicht das wichtigste und tiefstliegende in der ganzen Arbeit -- es wird hier das wichtigste Resultat der rein-mengentheoretischen Periode der Dimensionstheorie gegeben, nämlich der Satz von der Äquivalenz der induktiven Dimensionsdefinition, die wir eingangs wiedergegeben haben, und der ``integralen'' Definition. Der \textit{Urysohn}sche Fundamentalsatz lautet: \textit{Die Dimension einer abgeschlossenen Menge \(F\) ist gleich der kleinsten Zahl \(n\) von der Eigenschaft, daß es zu jedem \(\varepsilon\) eine \(\varepsilon\)-Überdeckung der Menge \(F\) von der Ordnung \(n + 1\) gibt}. Als Anwendung seines Satzes beweist \textit{Urysohn} den ``Rechtfertigungssatz'' -- den Satz nämlich, daß der \(R^n\) (bei jedem \(n\)) \(n\)-dimensional ist. Im selben Kapitel wird bewiesen, daß der \(n\)-dimensionale sphärische Raum, das \(n\)-dimensionale Element (und folglich alle \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten im klassischen Sinne) \(n\)-dimensionale \textit{Cantor}sche Mannigfaltigkeiten sind. Im sechsten Kapitel wird zunächst für beliebige Mengen die Formel \(\dim (M+ N) \leqq \dim M + \dim N + 1\) bewiesen. Dieses Resultat wird benutzt bei dem Beweise des jetzt als \textit{Urysohnscher Zerlegungssatz} bekannten Satzes: \textit{Eine Menge ist dann und nur dann \(n\)-dimensional, wenn sie sich als eine Summe von \(n + 1\) und nicht weniger nulldimensionalen Mengen darstellen läßt}. Beim Beweise dieses Satzes wird der sogenannte verallgemeinerte Summensatz als Hilfssatz mitbewiesen (der Satz also, daß die Vereinigungsmenge von abzählbar vielen höchstens \(n\)-dimensionalen abgeschlossenen Mengen höchstens \(n\)-dimensional ist -- auch dann, wenn diese Vereinigungsmenge nicht abgeschlossen ist).