Bericht über die Dimensionstheorie. (Q1451519)

In dieser zusammenfassenden Darstellung (welche die Literatur bis etwa 1926 berücksichtigt) wird das Hauptgewicht auf die methodische Seite gelegt. Im ersten Kapitel finden wir einen Überblick über die älteren Versuche, den Dimensionsbegriff zu präzisieren (\textit{Jordan}sche Kurven, \textit{Frechét}s Homöomorphietypen u. dgl.), deren gemeinsamer Mangel darin besteht, daß sie den Abbildungsbegriff zum Ausgangspunkt nehmen und die anschaulich-gestaltlichen Eigenschaften der geometrischen Gebilde vernachlässigen. Im nächsten Kapitel wird unter starker Betonung des anschaulichen Momentes der neue von \textit{Poincaré} vorbereitete rekursive Dimensionsbegriff in zwei äquivalenten Fassungen gebracht: Die \textit{Brouwer}sche Rekursion (1913) ``im Großen'' (``Der Raum ist höchstens \(n\)-dimensional, wenn je zwei fremde abgeschlossene Mengen des Raumes durch eine höchstens \((n - 1)\)-dimensionale Menge des Raumes getrennt werden können'') und die \textit{Menger-Urysohn}sche ``lokale'' Fassung (``Der Raum ist höchstens \(n\)-dimensional, wenn zu jedem Punkte des Raumes beliebig kleine Umgebungen mit höchstens \((n- 1)\)-dimensionalen Begrenzungen existieren''). Anschließend werden die Fundamentalsätze der Dimensionstheorie angeführt: Der Satz von der Dimension der euklidischen Räume und ihrer Teilmengen, die Sätze über die Dimension der Summen und über die Zerlegbarkeit der Mengen in nulldimensionale Teile. Ferner wird die Dimension in einzelnen Punkten betrachtet und im Anschluß daran die Ordnung der Kurven- und Flächenpunkte definiert. Im dritten Kapitel werden die Begriffsbildungen der Dimensions- und Kurventheorie als besondere Fälle einer allgemeinen und abstrakten Theorie der sogenannten \(E\)-Körper von Umgebungen aufgefaßt, welche Theorie eine große Ähnlichkeit mit der vom Referenten (Math. Ann. 96, 736-764; F. d. M. 53, 559 (JFM 53.0559.*)-560) entwickelten Theorie der ``Normalbereiche'' aufweist. Das vierte Kapitel bringt eine nähere Betrachtung der Kurven, d. h. der eindimensionalen Kontinua (Sätze über Häufungskontinua, lokal-zusammenhängende Kurven, reguläre Kurven, Raumkurven) und die Einführung des Begriffes des höherstufigen Zusammenhanges, welcher in der engsten Beziehung steht zu den ``Multiplicités Cantoriennes'' von \textit{P. Urysohn}. Im Schlußkapitel spricht Verf. die Überzeugung aus, daß ähnlich, wie der allgemeine Maßbegriff, der neue Dimensionsbegriff aus gewissen einfachen, anschaulich notwendigen Forderungen ableitbar sein muß. Ferner wird auf die topologische Einbettbarkeit der eindimensionalen Mengen in den euklidischen \(R_3\) hingewiesen, und als Gegenstand von späteren Mitteilungen die Einbettbarkeit der endlichdimensionalen Räume in cartesische Zahlenräume angekündigt. (Vgl. das übernächste Referat.)