Über die Dimension von Punktmengen. II. (Q1451520)

Verf. gibt eine Definition der Dimension von Punktmengen, die unabhängig vom Begriff der Abbildung ist. Für das Kontinuum ist sie mit einer von \textit{Brouwer} (J. f. M. 142 (1913), 146-152; F. d. M. 44, 555 (JFM 44.0555.*)) gegebenen Definition äquivalent. Vorausgesetzt ist, daß in der vorgelegten Menge \(A\) Umgebungen definiert seien, entweder durch eine \(A\) aufgeprägte Metrik oder durch das \textit{Hausdorff}sche Axiomensystem. Dann lautet die \textit{Menger}sche Definition der Dimension: ``Eine Menge heißt \(n\)-dimensional, wenn \(n\) die kleinste ganze, nicht negative Zahl ist von folgender Eigenschaft: Zu jedem Punkt \(a\) von \(A\) existiert eine auf \(a\) sich zusammenziehende Folge von Umgebungen mit höchstens \((n-1)\)-dimensionalen Begrenzungen; d. h. zu jedem Punkt \(a\) von \(A\) und zu jeder Umgebung \(U(a)\) existiert eine Umgebung \(U_1(a) \subset U(a)\) mit höchstens \((n - 1)\)-dimensionaler Begrenzung. \((-1)\)-dimensional und höchstens \((-1)\)-dimensional ist die leere Menge und nur diese.'' Um den Anschluß an die bisher übliche Definition der Dimensionszahl zu gewinnen, beweist Verf. dann vor allem folgendes: \ \ 1) Die so definierte Dimensionszahl ist gegenüber topologischen (d. h. umkehrbar eindeutigen und umkehrbar stetigen) Abbildungen invariant. \ \ 2) Der \(R_n\) und jede offene Menge des \(R_n\) ist \(n\)-dimensional. (Beim Beweise dieses Satzes wird der bekannte Satz von \textit{Lebesgue} benutzt: Bei jeder Zerlegung der Begrenzung \(B\) einer kompakten offenen Menge des \(R_{n+1}\) in endlich viele hinlänglich kleine abgeschlossene Teilmengen existiert ein Punkt von \(B\), der mindestens \(n + 1\) von diesen Teilmengen gemein ist.) \ \ 3) Die \(n\)-dimensionalen Mengen des \(R_n\) sind identisch mit den Mengen, die einen offenen Teil enthalten.