Allgemeine Räume und Cartesische Räume. II: Über umfassendste \(n\)-dimensionale Mengen. (Q1451522)

In Verschärfung des in der Mitteilung I bewiesenen Satzes (vgl. das vorangehende Referat) konstruiert Verf. ein stetig durchlaufbares Kontinuum \(J\) in \(R_3\), das eine \textit{umfassendste eindimensionale Menge} ist in dem Sinne, daß \(J\) zu jedem eindimensionalen kompakten Raum eine homöomorphe Menge als Teil enthält. (Da nach einem später vom Referenten (Monatshefte f. Math. 37 (1930), 199-208; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 506) bewiesenen Satz jeder separable Raum in einen kompakten Raum von gleicher Dimension topologisch einbettbar ist, enthält \(J\) topologische Bilder von sämtlichen separablen auch nicht kompakten Räumen.) Man erhält \(J\), indem man einen Würfel in 27 homothetische, einander kongruente Teilwürfel zerlegt, den innersten dieser Teilwürfel nebst den sechs an ihn grenzenden Würfeln tilgt, so dann in jedem der übrig gebliebenen 20 Würfel dieselbe Konstruktion wiederholt usw. ad infinitum. Allgemeiner konstruiert Verf. eine Menge \(R_n^m\) in \(R_n\), von der er vermutet, daß sie zu jeder \(m\)-dimensionalen Menge des \(R_n\) einen homöomorphen Teil enthält. Für \(m = n - 1\) gelingt der Beweis mühelos (für \(m < n - 1\) liegt im Jahre 1934 noch kein Beweis vor).