Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie. (Q1451527)

Verf. betrachtet Folgen von Komplexen \(\mathfrak K_1, \mathfrak K_2, \dots\), die er als Spektra bezeichnet, mit den folgenden Eigenschaften: Gewisse Simplexe \(S_{\mu i_\mu}\), \(S_{\mu i_\mu} \subset \mathfrak K_\mu\), werden zu ``Gruppen'' \[ [S_{1i_1}, S_{2i_2}, \dots, S_{mi_m}] \] zusammengefaßt, derart daß jeder Abschnitt \[ [S_{1i_1}, S_{2i_2}, \dots, S_{m^\prime i_{m^\prime}}] \quad (m^\prime < m) \] einer Gruppe wieder eine Gruppe ist, daß jedes Simplex \(S_{\mu i_\mu}\) von \(\mathfrak K_\mu\) \((\mu = 1, 2, \dots)\) in wenigstens einer Gruppe vorkommt, daß ferner eine Gruppe in eine Gruppe übergeht, wenn man irgendein Simplex durch eins seiner Teilsimplices ersetzt, daß schließlich (hier wird eine Berichtigung (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 313) berücksichtigt) die ``Ketten'' von Simplexen \[ S_{1i_1}, S_{2 i_2}, \dots, \] deren sämtliche Abschnitte Gruppen sind, während diese Eigenschaft verloren geht, wenn man irgendein Simplex \(S_{\mu i_\mu}\) durch ein \(S_{\mu i_\mu}\) enthaltendes höherdimensionales Simplex ersetzt, die folgende Bedingung erfüllen: Zu je zwei verschiedenen Ketten \[ S_{1i_1}, S_{2 i_2}, \dots \quad \text{ und } \quad S_{1j_1}, S_{2j_2}, \dots \] soll es natürliche Zahlen \(r\) und \(s\) geben, derart daß für zwei Ketten \[ S_{1h_1}, S_{2h_2}, \dots \quad \text{ und } \quad S_{1k_1}, S_{2k_2}, \dots \] mit \[ S_{\mu h_\mu} \subset S_{\mu i_\mu} \quad \text{ und } \quad S_{\mu k_\mu} \subset S_{\mu j_\mu} \quad \text{ für } \quad \mu \leqq r \] stets \[ S_{\nu h_\nu} S_{\nu k_\nu} = 0 \quad \text{ für } \quad \nu \geqq s \] gilt. (Vgl. hierzu auch die Definition des Projektionsspektrums in Annals of Math. (2) 30 (1928), 101-187; F. d. M. 54, 609 (JFM 54.0609.*).) Erklärt man jede Kette \(K\) eines Spektrums als Punkt und jedes System von Ketten \(K\), von denen ein endlicher Abschnitt (bestimmter Länge) aus Teilsimplexen des entsprechenden Abschnitts einer Kette \(K_0\) besteht, als Umgebung von \(K_0\), so wird das Spektrum zu einem kompakten metrisierbaren topologischen Raum. Umgekehrt kann jeder kompakte metrisierbare topologische Raum durch ein Spektrum approximiert werden, und zwar genauer so, daß die Dimensionszahl des Raumes gleich der Dimension des Spektrums ist (d. h. bei endlicher Dimension \(n\) sind alle \(\mathfrak K_\mu\) \(n\)-dimensional, bei unendlicher Dimension wachsen die Dimensionen der \(\mathfrak K_\mu\) über alle Grenzen), während eine Approximation durch weniger als \(n\)-dimensionale Spektren nicht möglich ist. -- Der Beweis der zweiten Hälfte des Satzes beruht auf dem Pflastersatz und der unter dem Namen des ``Nervs'' einer \(\varepsilon\)-Überdeckung bekannt gewordenen Konstruktion, bei der die Mengen einer \(\varepsilon\)-Überdeckung als Ecken, die Mengensysteme einer Überdeckung mit nicht leerem Durchschnitt als Simplexe eines Komplexes aufgefaßt werden. Durch diesen Approximationssatz wird die Topologie der kompakten metrisierbaren Räume den Methoden der simplizialen Topologie zugänglich gemacht, deren Tragweite man z. B. in den Ergebnissen der schon genannten Arbeit des Verf. erkennt.