Über kombinatorische Eigenschaften allgemeiner Kurven. (Q1451528)

Aus der Einleitung: ``Zweck vorliegender Arbeit ist, in einer mehr oder weniger systematischen Weise diejenigen Eigenschaften der allgemeinen Kurven \dots darzustellen, die ich in meinem vorstehenden Aufsatze als \textit{kombinatorische} Eigenschaften bezeichnet habe.'' (Vgl. die vorstehend besprochene Arbeit.) Im ersten Abschnitt definiert Verf. für beliebige zusammenhängende eindimensionale Komplexe \(L\) (Streckenoder Bogenkomplexe) eine topologische Invariante \(p(L)\). \(S_1\) sei ein Bogen von \(L\), und \(L_1\) bezeichne den nur aus \(S_1\) bestehenden Komplex. \(L_m\) sei bereits definiert, und \(S_{m+1}\) sei ein Bogen von \(L\), der nicht zu \(L_m\) gehört, aber mit \(L\) wenigstens einen Endpunkt gemein hat. \(L_{m+1} = L_m + S_{m+1}\) ist dann wieder ein in \(L\) enthaltener Bogenkomplex. Dieses Verfahren bricht nach endlich vielen Schritten ab. Die Anzahl der Schritte \(m\), bei denen \(S_{m+1}\) beide Endpunkte mit \(L_m\) gemein hat, sei \(p(L)\); sie ist unabhängig von der Auswahl der Strecken \(S_1\), \(S_2\), \dots. Für \(p(L)\) gibt Verf. noch eine weitere, rein kombinatorische Definition an und ferner für Bogenkomplexe \(L\), die im dreidimensionalen euklidischen Raum eingebettet sind, eine geometrische Definition, die den Begriff der Verschlingung benutzt. Es zeigt sich, daß alle drei Definitionen einander äquivalent sind und daß, wenn \(\chi (L)\) die Charakteristik von \(L\) bezeichnet, überdies die Gleichung \[ p(L) = 1 - \chi(L) \] gilt. \(\varkappa (L) = 1 + p(L)\) nennt Verf. die Zusammenhangszahl von \(L\). Es folgt der Beweis eines Additionssatzes: \(L_1\), \(L_2\) seien zwei Bogenkomplexe mit gemeinsamen Elementen. Es sei ferner \(\varkappa(L_1) = \varkappa(L_2) = 1\) und \(q\) die Anzahl der Komponenten von \(L_1 \cdot L_2\). Dann ist \[ \varkappa (L_1 + L_2) = q. \] Nachdem \(\varkappa (L)\) für Bogenkomplexe definiert ist, kann man auch, entsprechend den Ideen der vorstehend besprochenen Arbeit, für allgemeine Kurven (d. h. zusammenhängende kompakte eindimensionale metrische Räume) eine Zusammenhangszahl definieren, indem man entweder die \(C\) definierenden Spektren oder die \((\varepsilon, 2)\)-Überdeckungssysteme von \(C\) heranzieht. Der zweite Abschnitt behandelt die Definition und die Eigenschaften dieser Zusammenhangszahlen. Der Additionssatz kann jetzt auch für allgemeine Kurven bewiesen werden. Der dritte Abschnitt bringt den \textit{Brouwer}schen Invarianzsatz (vgl. Math. Ann. 72 (1912), 422-425; F. d. M. 43, 569 (JFM 43.0569.*)), den Verf. in der folgenden allgemeineren Fassung beweist: Die Anzahl der durch eine ebene \textit{Cantor}sche Kurve in der Ebene bestimmten zusammenhängenden Gebiete ist gleich der Zusammenhangszahl von \(C\), sie ist also eine kombinatorische Eigenschaft von \(C\). Eine unmittelbare Folgerung aus diesem Satze berechtigt zu der folgenden Definition: Eine mehrfach zusammenhängende Kurve heißt geschlossen, falls ihre sämtlichen echten Teilkontinua einfach zusammenhängend sind; sie heißt insbesondere regelmäßig oder unregelmäßig geschlossen, je nachdem ihre Zusammenhangszahl gleich 2 oder größer als 2 ist. Die ebenen regelmäßig geschlossenen Kurven sind demnach mit den im \textit{Schönfließ}schen Sinne geschlossenen identisch. Die mit dem Begriff der Irreduzibilität und der Unzerlegbarkeit zusammenhängenden kombinatorischen Eigenschaften von geschlossenen Kurven bilden den Inhalt des vierten Abschnitts. Im letzten Abschnitt behandelt Verf. die stetigen Kurven, d. h. die im Kleinen zusammenhängenden allgemeinen Kurven. Für solche Kurven läßt sich die abstrakte Definition der Zusammenhangszahl mit Hilfe gewisser in den Kurven enthaltenen Kreissysteme geometrisch fassen. Aus den Untersuchungen dieses Abschnittes ergibt sich, daß die stetigen Kurven von endlichem Zusammenhang eine starke Analogie zu den Bogenkomplexen besitzen; z. B. enthalten solche Kurven höchstens abzählbar viele Verzweigungspunkte, die alle eine begrenzt oder unbegrenzt endliche Ordnung haben; ferner sind die einzigen stetigen geschlossenen Kurven die Kreise.