Les équations intégrales à plusieurs paramètres et la technique des vibrations. (Q1451670)

Einleitend geht Verf. von der homogenen Integralgleichung zweiter Art \[ y(P) =\lambda\int\limits_D G(P,Q)f(Q)y(Q)\,d\tau (Q) \] ans, die den Parameter \(\lambda\) enthält. Die Lösung \(y\) ist bekanntlich von Null verschieden wenn \(\lambda\) eine Wurzel der Gleichung \[ D(\lambda) = 0 \] ist, wobei \(D(\lambda)\) die \textit{Fredholm}sche Determinante ist. Nun kann man die Gleichungen mit mehreren Parametern, z. B. \[ y(P)= \lambda \int\limits_D L(P,Q)f(Q)y(Q)\,d\tau(Q)+ \mu\int\limits_D M(P,Q)f(Q)y(Q)\,d\tau(Q), \] leicht durch die Substitution \[ G(P,Q) = L(P,Q)+kM(P,Q) \;\text{mit} \;k = \frac \mu\lambda \] auf die erste Gleichung zurückführen. Zu einem festen Wert k gehört jetzt eine ganze Reihe ``charakteristischer Werte'' \(\lambda_{1k},\lambda_{2k}, \ldots\) mit zugehörigen Werten \(\mu_{1k}, \mu_{2k},\cdots \). Trägt man die \(\lambda\)- und \(\mu\)-Werte auf den beiden Achsen eines rechtwinkligen Achsenkreuzes auf, so bilden bei veränderlichem \(k\) die Punkte mit den Koordinaten \(\lambda_{1k}, \mu_{1k}\) eine Kurve, desgleichen die Punkte \(\lambda_{2k}, \mu_{2k}\) usw. Dies sind die ``charakteristischen Kurven'' des Problems, weil sie die für die Lösbarkeit charakteristische verallgemeinerte Determinantengleichung \(D(\lambda,\mu)=0\) darstellen. An dem Beispiel einer homogenen Differentialgleichung vierter Ordnung, die zwei Parameter \(\lambda\) und \(\mu\), enthält, wird das Verfahren erläutert. Die charakteristischen Kurven sind in diesem Falle gerade Linien.