Note sur le paradoxe de d'Alembert. (Q1451760)

Aus dem Vorwort: ``Das \textit{d'Alembert}sche Paradoxon der klassischen Hydrodynamik kann wie folgt formuliert werden: Wenn ein fester Körper ganz innerhalb einer idealen unendlichen Flüssigkeit einer gleichförmigen geradlinigen Translation unterworfen ist, so ist, falls die Flüssigkeit frei von jeder äußeren Kraftwirkung, ihre Bewegung einem stetigen Potential unterworfen und in bezug auf den Körper stationär ist, der Widerstand, den die Flüssigkeit auf den Körper ausübt stets 0. Der paradoxe Charakter dieses Satzes besteht in seinem offenbaren Widerspruch mit allen bei der Bewegung fester Körper in angenähert inkompressiblen und reibungslosen Flüssigkeiten gemachten Erfahrungen. Es liegt nahe, den oben ausgesprochenen Satz auf den allgemeinen Fall eines endlichen festen Körpers \(S\), der innerhalb einer beliebigen Flüssigkeit eine gleichförmige Schraubenbewegung mit der Zentralachse \(\varDelta\), der Translationsgeschwindigkeit -- \(V_0\) und der Winkelgeschwindigkeit -\(\overline{\omega}\) ausführt, auszudehnen, wobei zunächst alle Annahmen über die Form der absoluten Bewegung der Flüssigkeit bei Seite gelassen werden sollen. Wählen wir als \(x\)-Achse die Gerade \(\varDelta\) mit der positiven Orientierung nach \(+ V_0\). Die absolute Reaktion der Flüssigkeit auf den Körper \(S\) mag dargestellt werden durch ihre Resultante \(\overline{F}\) und ihr resultierendes Moment \(\overline{G}\) in bezug auf einen Punkt der \(x\)-Achse. Wir definieren den in bezug auf den festen Körper \(S\) stationären Bewegungszustand einer unendlichen Flüssigkeit dann als dem verallgemeinerten \textit{d'Alembert}schen Paradoxon genügend, wenn eine der folgenden drei Beziehungen besteht: \[ \begin{matrix} \l \quad &\l\quad &\l\quad &\l\\ F_x = G_x = 0 & \text{bei} & V_0\neq 0, & \omega\neq 0,\\ F_x = 0 & \text{bei} & V_0\neq 0, & \omega = 0,\\ G_x = 0 & \text{bei} & V_0 = 0, & \omega\neq0.\text{''} \end{matrix} \] Bei dieser Definition verschwindet also immer nur die der vorhandenen Bewegung korrespondierende Kraftkomponente und deren Arbeit. Das in diesem Sinne verallgemeinerte \textit{d'Alembert}sche Paradoxon wird studiert, indem die notwendigen Bedingungen für sein Bestehen untersucht und übersichtlich zusammengestellt werden. Sodann werden die Möglichkeiten zur Auflösung des Paradoxons ins Auge gefaßt. Die Untersuchung gliedert sich in zwei Teile: I. Inkompressible Flüssigkeiten, II. Kompressible Flüssigkeiten. In die eigentliche Untersuchung sind einige Bemerkungen über zwei andere Möglichkeiten der Verallgemeinerung des \textit{d'Alembert}schen Paradoxons eingeflochten. Bei der einen verschwindet die Gesamtkraftwirkung \((\overline{F}, \overline{G})\), bei der anderen die Gesamtarbeit \(F_xV_0 + G_x\omega\). Verf. betont im Vorwort, daß er alle geschichtlichen Betrachtungen aus seiner Arbeit ausschließt und die Arbeiten anderer Autoren, die verwandten Fragestellungen gewidmet waren, nicht anführt.