Einsteinian gravitational field of a heterogeneous fluid sphere. (Q1452187)

Verf. bestimmt das Gravitationsfeld einer flüssigen Kugel, deren Dichte \(\varrho\) eine Funktion \(\psi(r)\) von \(r\) ist. Die Metrik ist gegeben durch \[ ds^2 = - e^{\lambda} dr^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin^2\theta d\varPhi^2+ e^{\nu}dt. \] Aus den Gravitationsgleichungen \(R_{ik}-\frac12 g_{ik}R=- 8\pi T_{ik}\) ergibt sich \(e^{\lambda}\) durch bloße Quadraturen; \(e^{\nu}\) ist durch eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit von \(r\) abhängigen Koeffizienten bestimmt. \[ \begin{aligned} \text{ Für } \;\varrho=\psi(r) & = \frac{5\beta r^2+3}{3(\beta r^2+1)^{\frac 53}}\varrho_0 \;\text{ erhält Verf.}\\ e^{\lambda} & =\frac{(3\beta r^2+1)^{\frac23}}{(3\beta r^2+1)^{\frac 23}\dfrac{8\pi\varrho_0}{3}r^2} \;\text{ und } \;e^{\nu}=(\beta r^2+1)^2; \end{aligned} \] dabei ist \(\beta\) eine Konstante, die sich aus \(\varrho_0\) berechnen läßt. Die allgemeineren Gleichungen \(R_{ik}-\frac12g_{ik} R+\alpha g_{ik}=-8\pi T_{ik}\) liefern nichts wesentlich Neues. Für \(\varrho\equiv 0\) ergibt sich die spezielle Relativitätstheorie bzw. die \textit{de Sitter}sche Welt.