Über quantentheoretische Kinematik und Mechanik. (Q1452419)

Dieser Aufsatz ist die zusammenfassende Darstellung \textit{Heisenberg}s über die Matrizenmechanik und ist noch heute die klarste und kürzeste Darlegung der Grundlagen dieses Zweigs der Quantenmechanik, der von \textit{Heisenberg} angefangen und von \textit{Born, Dirac}, \textit{Jordan, Kramers} und \textit{Pauli} durchgeführt wurde. ``Wenn man mit \textit{Bohr} die Annahme macht, daß die \textit{Balmer}serie den einer periodischen Bewegung des Elektrons entsprechenden Strahlungsvorgang repräsentiert, so stößt man auf die bekannte grundsätzliche Schwierigkeit, daß das Spektrum jeder beliebigen periodischen Bewegung ein Spektrum äquidistanter Linien sein muß (alle Frequenzen sind als harmonische Obertöne ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz), während die \textit{Balmer}serie eine Linienfolge mit Häufung der Linien an einer endlichen Grenze darstellt. Anscheinend kann man dieser Schwierigkeit nur auf zweierlei Weisen entgehen: entweder nimmt man an, daß das Strahlungsspektrum nichts mit dem mathematischen Spektrum der Bewegung des Elektrons im Atom zu tun habe, oder aber man verläßt die Gesetze der klassischen Kinematik bei der Deutung der Atomprobleme. Die erstere Alternative scheint kaum möglich im Hinblick auf die großen Erfolge, welche die klassische Strahlungstheorie bei der Beschreibung optischer Phänomene erzielt hat. Die zweite Alternative führt zu dem Problem, die wirklichen Gesetze der quantentheoretischen Kinematik aus den Erfahrungen abzuleiten; dieses Problem ist der Gegenstand der hier darzustellenden Theorie.'' Den Ausgangspunkt der Arbeit bildet das \textit{Bohr}sche Korrespondenzprinzip welches erlaubt, klassische Größen in quantenmechanische umzudeuten. So werden den klassischen Größen \(x, y\) eines Systems quantenmechanische Matrizen \({\boldsymbol x}, {\boldsymbol y}\) zugeordnet: \[ \begin{cases} {\boldsymbol x}\to (x(n m)e^{2\pi i\nu(n m)t}),\\ {\boldsymbol y}\to (y(n m)e^{2\pi i\nu(n m)t}). \end{cases} \tag{1} \] Diese Größen mögen etwa dem Ort und dem Impuls des Elektrons eines linearen Oszillators entsprechen. Der physikalische Sinn dieser Zuordnung von Matrizen entspricht der Erfahrungstatsache, daß der Wert einer oszillierenden Größe \(x\) nur beim Übergang des Systems von stationären Zustand \(n\) zum Zustand \(m\), der ja mit einer Ausstrahlung der Frequenz \[ \nu(nm) = \dfrac{1}{h}(E_n - E_m)\tag{2} \] verbunden ist, gemessen werden kann. Damit die Zuordnung (1) sinnvoll ist, müssen aber auch die nach den Gesetzen der Matrizenmultiplikation ausgewerteten Größen \({\boldsymbol x} + {\boldsymbol y}\) und \({\boldsymbol x\boldsymbol y}\) einen Sinn haben: \[ {\boldsymbol x} + {\boldsymbol y} \to ((x + y) (n m)e^{2\pi i\nu(nm)t}),\quad \text{andererseits} \quad \to [x(n m) + y (n m)] e^{2\pi i \nu(n m)t} \] (man denke an die Addition zweier gleichartiger Größen, z. B. Impulse); \[ {\boldsymbol x\boldsymbol y} \to ((x y) (n m)e^{2\pi i\nu(nm)t}),\quad \text{andererseits} \quad \to \sum_kx(n k) y (k m)] e^{2\pi i[\nu(n k)+\nu(k m)]t}. \] Die beiden Ausdrücke für \({\boldsymbol x} + {\boldsymbol y}\) können identifiziert werden, die für \({\boldsymbol x\boldsymbol y}\) aber nur auf Grund des \textit{Rydberg-Ritz}schen Kombinationsprinzips \[ \nu (n m) = \nu (n k) + \nu (k m), \] das mit (2) identisch ist. Das letztere gibt also die Erfahrungstatsache ab, auf Grund deren die Zuordnung (1) sinnvoll ist. Nun handelt es sich darum, wegen \[ {\boldsymbol x\boldsymbol y}\neq {\boldsymbol y\boldsymbol x}\tag{3} \] im Allgemeinfall ein die Vertauschbarkeit ersetzendes Gesetz aufzustellen. Dies ergibt sich nach dem Korrespondenzprinzip für den Fall \(h \to 0\) aus den klassischen Beziehungen und lautet, falls \({\boldsymbol p}_r {\boldsymbol q}_r\) kanonisch konjugierte Variable sind: \[ \begin{cases} ({\boldsymbol p}_r, {\boldsymbol p}_s)=0,\\ ({\boldsymbol q}_r, {\boldsymbol q}_s)=0,\\ ({\boldsymbol p}_r, {\boldsymbol q}_s)=\dfrac{h}{2\pi i}\delta_{rs}\cdot{\boldsymbol 1}, \end{cases} \tag{4} \] wobei \(({\boldsymbol x},{\boldsymbol y}) = {\boldsymbol x\boldsymbol y}-{\boldsymbol y\boldsymbol x}\) das quantenmechanische Analogon zur \textit{Poisson}schen Klammer \({\boldsymbol [x,y]}\) ist. Ebenso bietet das Korrespondenzprinzip für die Bewegungsgleichung den Ansatz \[ \dot{\boldsymbol p}_k=({\boldsymbol H}, {\boldsymbol p}_k), \quad \dot{\boldsymbol q}_k=({\boldsymbol H}, {\boldsymbol q}_k). \] Die Zeitabhängigkeit steckt bei der Matrizenmechanik in den Observablen, d. h. \({\boldsymbol p}_k, {\boldsymbol q}_k\), während in der Quantenmechanik die Zeitabhängigkeit in die \(\psi \)-Funktion gelegt wird. -- Die Matrizenmechanik ist diejenige Darstellung der Quantenmechanik, bei welcher die Energie-Observable diagonal ist. Die Eigenwerte der Energie ergeben sich durch eine kanonische Hauptachsentransformation, welche sich für alle Störungsprobleme besonders fruchtbar erweist. Die kanonische Transformation, die Auflösung der charakteristischen Gleichung, die Störungstheorie und die Impulssätze der Quantenmechanik werden besprochen. Am Schluß ist eine Kritik der Theorie angefügt, die den Stand der physikalischen Deutung der Matrizenmechanik vor der Entstehung der Wellenmechanik wiedergibt.