On quantum algebra. (Q1452483)

Man habe eine Menge von Größen, die einer nicht kommutativen Multiplikation, im übrigen den üblichen Rechengesetzen unterworfen seien. Verf. nennt sie \(q\)-Zahlen. Sie sollen außerdem mit den gewöhnlichen Zahlen (``\(c\)-Zahlen'') in üblicher Weise verknüpft werden können. Verf. definiert zunächst den Begriff der Funktion einer \(q\)-Zahlen-Veränderlichen in folgender Weise: Man habe zwei \(q\)-Zahlen \(x\) und \(X\); wenn dann jede Zahl, die mit \(x\) vertauschbar ist, auch mit \(X\) vertauschbar ist, so definieren \(x\) und \(X\) eine Funktion. \(X\) ist dann eine Funktion der einen Veränderlichen \(x\). Hat man irgend einen anderen Wert der Veränderlichen, etwa \(y\), so nehme man als Axiom an, daß es dazu stets eine \(q\)-Zahl \(b\) so gibt, daß \[ y=b\cdot x\cdot b^{-1}. \] Dann stellt \(Y = bXb^{-1}\) dieselbe Funktion von \(y\) dar, die \(X\) von \(x\) war. Es zeigt sich, daß es hierbei nicht auf die spezielle Wahl von \(b\) ankommt. Verf. zeigt, daß dieser Funktionsbegriff die üblichen Eigenschaften besitzt. Er läßt sich auch auf Funktionen von mehreren Veränderlichen ausdehnen. In Anlehnung an die Bedürfnisse der Quantenmechanik wird der Begriff des Differentialquotienten einer Funktion folgendermaßen definiert: \(Q\) sei eine Funktion der einen Veränderlichen \(q\), und \(p\) sei eine Zahl, für die \[ qp - pq = 1 \] gilt; dann verstehe man unter dem Differentialquotienten \(Q'=\dfrac{dQ}{dq}\) der Funktion \(Q\) nach \(q\): \[ Q' = Qp-pQ. \] Es zeigt sich zunächst, daß diese Definition von der speziellen Wahl von \(p\) unabhängig ist. Der so definierte Differentialquotient besitzt alle Eigenschaften eines gewöhnlichen Differentialquotienten. Will man als Umkehrung der Differentiation einen Integrationsprozeß einführen, so müssen die einzigen Funktionen, deren Ableitung Null ist, die Konstanten (\(c\)-Zahlen) sein. Das gibt Anlaß zu folgendem Axiom: Die einzigen Zahlen, die mit \(p\) und mit jeder Zahl, die mit \(q\) vertauschbar ist, kommutieren, wobei \(qp - pq = 1\), sind die \(c\)-Zahlen. Auch der Begriff der partiellen Ableitung einer Funktion von mehreren Veränderlichen, die untereinander kommutieren, kann eingeführt werden.