Über die Analyse zweier erweiterter Integrale des asteroidischen Dreikörperproblems. (Q1452639)

Man begegnet hier der zuerst vom Verf. gefundenen konzisen und strengen Form des ``Kometenbahn-Kriteriums'' (in Formel (2) ist \(K^4\) durch \(K^2\) zu ersetzen): \[ \frac{1}{2} \frac{K^2}{a} + n'K\sqrt{p} = C-\varOmega, \tag{1} \] wo \(\varOmega\) die alte Form der Störungsfunktion \(\displaystyle K^2 \left[ \frac{1}{\varDelta} - \frac{r}{r'^2} \cos(v - v')\right]\) im Falle \(e' = 0\) darstellt. \(C\) enthält hier indessen außer der ursprünglichen Konstante \(h\) des \textit{Jacobi}schen Integrals einige Glieder, die von der Rücktransformation der in bezug auf die Richtung \(r'\) relativen Bewegung auf die Bewegung nach festen Achsen herrühren, die aber für \(e' = 0\) \textit{konstante} Beträge erhalten. Bei der Nachrechnung und Wiederfindung des gewissermaßen überraschenden Resultats (1) war es dem Ref. aufgefallen, daß bei Reduktion, anstatt auf die Sonne, auf den Schwerpunkt (Sonne-Jupiter) ein ähnliches Resultat sich ergibt, nämlich -- für die auf den Schwerpunkt bezogene Ellipse - \[ \frac{1}{2} \frac{K^2(1+m')}{a} + n'K\sqrt{1+m'}\sqrt{p} = h-\varOmega, \] in welchem Falle, bis auf den verschwindenden Faktor \(m_0\) für die asteroidische bzw. Komet-Masse, \[ \varOmega = K^2\left[ \frac{m}{(r)} + \frac{m'}{\varrho} \frac{m+m'}{\bar{r}}\right], \] wo (\(r\)) und \(\varrho\) die Abstände zu \(m(=1)\) und \(m'\) sind und \(\bar{r}\) sich auf den Schwerpunkt bezieht, sodaß \(\varOmega\) hier das \textit{Jacobi}sche Potential darstellt. Weil dasselbe im allgemeinen als numerisch besonders klein zu betrachten ist, liegt auch hier die Möglichkeit vor, dasselbe in erster Annäherung zu vernachlässigen. Verf. geht ferner zur Aufsuchung von Verallgemeinerungen der Relation (1) im Falle \(e'\neq 0\) über, wobei sich auch noch bei Berücksichtigung nur säkularer und durch Kommensurabilität der mittleren Bewegungen gekennzeichneter Glieder ein zweites Integral neben (1) ergibt, das vorher nicht bekannt gewesen ist. Ohne auf die Einzelheiten der Gedankenfolge des Verf. einzugehen, ist diesbezüglich zu erwähnen, daß die Suche nach den betreffenden Gliedern durch eine eingehende, an die \textit{Leverrier}sche Entwickelung der Störungsfunktion sich anlehnende analytische Ableitung in musterhafter Weise erfolgt.