On the nature of the spiral nebulae. (Q1452779)

Die Veröffentlichung des Verf. bringt eine Darlegung von früher veröffentlichten Untersuchungen über den Gegenstand, beispielsweise in Arkiv för Mat. 19 A (1927), Nr. 35 (F. d. M. 53, 903 (JFM 53.0903.*)), und knüpft hieran ergänzende Betrachtungen. Den Ausgangspunkt findet er in den \textit{Poincaré}schen ``Leçons sur les hypothèses cosmogoniques'' (1911; F. d. M. 42, 1008 (JFM 42.1008.*)), p. 262, woselbst ein Fortschreiten der Rotation eines Sternsystemes zu immer zunehmender Abplattung über die \textit{MacLaurin}schen Rotationsellipsoide hinaus bis zu den \textit{Jacobi}schen dreiachsigen betrachtet wird, wobei an den beiden Endpunkten der größten Achse Auswürfe von Materie in Analogie mit den Spiralnebeln stattfinden könnten. Indes hebt Verf. die Schwierigkeit hervor, der Annahme \textit{Poincaré}s, das ganze System sei ein Gaskörper, in welchem die Sterne als Gasmoleküle aufgefaßt werden, ohne weiteres beizustimmen, weil die Moleküle eines Gases in mancher Beziehung sich anders verhalten als Sterne in einem Sternsystem, wo u. a. gegenseitige Zusammenstöße nicht gerade häufig sind. Die Attraktion eines homogenen bzw. \textit{Maclaurin}schen Ellipsoids wird zum Ausgangspunkt der Untersuchung der Bewegung eines Sterns am Rande eines Milchatraßensystems genommen. Die dabei wirkenden Kräfte sind: \[ \begin{aligned} X&=-\frac{3M\alpha}{\lambda^3A^3}(\lambda-\operatorname{arctg\,}\lambda),\\ Y=Z&=-\frac{2M\beta}{2\lambda^3A^3} \left(\operatorname{arctg\,}\lambda-\frac\lambda{1+\lambda^2}\right), \end{aligned} \] wo \(A\) die kleinste Achse bedeutet \(\Big(\lambda^2=\dfrac{e^2}{1-e^2}=\operatorname{tg}^2\varphi\), \(e = \sin\varphi = \text{ Exzentrizität}\Big)\). Geht man zur Meridionalexzentrizität \(e\) über und setzt \(y=\dfrac e{\overline{\omega}}\) (\(\overline{\omega}=\) Radius), so ist am Äquatorrande des Systems \(\overline{\omega}=a=1\), \(\theta=\) wahre Länge anzusetzen, und es wird, indem \(y\) für \(e = 1\) den reziproken Wert des Radiusvektors darstellt, \[ \begin{gathered} \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2+y^2=\frac32\frac{GMe}{h^2} \left[\left(2-\frac1{y^2}\right)\arcsin y+\frac1y\sqrt{1-y^2}+\frac43\mu y\right]+c\\ \left(h=\overline{\omega}\,{}^2\frac{d\theta}{dt}=\text{ Flächengeschwindigkeit}\right), \end{gathered} \] wo \(\mu M\) eine außerdem im Zentrum etwa befindliche Masse sei. Für eine (anfangs) kreisförmige Bewegung am Rande des Systèmes ist \(y =\) const \(= e\), also, wenn gesetzt wird \[ \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2_{c=c_0}=\psi(y), \] \(\psi(e)= 0\) und auch \(\psi'(e)= 0\) (für kreisförmige Bewegung). Allgemeiner ist daher für \(c\neq c_0\) \[ \psi''(y)=\frac{2e^4}{\arcsin e-e\sqrt{1-e^2}+\frac23\mu e^3}\cdot\frac1{y^3} \left[\frac{3-y^2}{\sqrt{1-y^2}}-\frac3y\arcsin y\right]-2 \] und \[ \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2=\tfrac12\psi''(e)\cdot(dy)^2+\cdots+\varDelta c. \] Es handelt sich darum, zu entscheiden, ob bei irgendeinem Werte \(e\) ein Übergang von \(\psi''(e)\) über Null zu einem positiven Wert stattfinden könne, wodurch \[ \frac{dy}{d\theta}=\pm\sqrt{\tfrac12\psi''(e)}\cdot\delta y \] und eine nach auswärts gerichtete Bewegung somit möglich würde. Es ergibt sich hierfür die Bedingung \[ \frac{e_1-\frac12e_1^3}{\sqrt{1-e_1^2}}-\arcsin e_1=\frac1\sigma\,\mu e_1^3. \] Für \(\mu= 0\) ist \(e_1 = 0,834\), für \(\mu= 6,9\) exakt \(e_1 = 0,9\). Es dürfte daher schon infolge der Attraktionswirkung eines sehr abgeplatteten Ellipsoids die Bedingung für die Entwickelung spiralförmiger Auswürfe erfüllt sein. Für die Spiralnebel M. 33 und M. 81 wären die Werte \(e = 0,99\) bzw. \(e = 0,97\) anzunehmen. Auf eine direkte Integration des Problems geht Verf. indessen nicht ein, sondern begnügt sich weiterhin damit, die Richtlinien für künftige Untersuchungen zu besprechen. Gemäß der Diskussion würde, wie Verf. angibt, im Gegensatz zu der obengenannten Darstellung \textit{Poincaré}s ein spiralförmiger Auswurf von Materie in direktem Sinne erfolgen können. Es ist jedoch \(\overline{\omega}\,{}^2\dfrac{d\theta}{dt}=\) const. Der zweifache diametrale Auswurf von Spiralarmen der Spiralnebel könnte durch Gezeitenwirkung erklärt werden, wozu allerdings irgendein maßgebender Faktor im allgemeinen fehlen dürfte. Die Untersuchung des Verf. läuft im ganzen der Theorie der \textit{MacLaurin}schen Rotationsellipsoide parallel, deren eigentliche Stabilität sich bekanntlich bis \(e =0,9529\) erstreckt.