Supplément à la note ``Remarque sur un théorème de M. Julia''. (Q1453330)

Für eine in der Umgebung von \(z=\infty\) reguläre und eindeutige Funktion \(f(z)\) heiße eine Punktfolge \(z_n\) \(J\)-artig, wenn \(\lim\limits_{n\to\infty}z_n=\infty\), und wenn zu jedem \(d>0\) eine Teilfolge \(z_n\) existiert, derart, daß in den Kreisen vom Mittelpunkt \(z_{n_p}\) und vom Radius \(|z_{n_p}|d\) die Funktion \(f(z)\) jeden Wert mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft annimmt. Dann ist \(f(z\sigma^n)\), \(|\sigma|>1\), in wenigstens einem der Grenzpunkte der \(n, q\)-Folge \(z_n\sigma^{-q}\) (\(q>0\) ganz), welche in \(1\leqq|z|\leqq |\sigma|\) liegen, nicht normal. Hiervon werden Anwendungen auf Fragestellungen von \textit{Bloch, Julia} und \textit{Milloux} gemacht. Ein entsprechender Satz wird auch für meromorphe Funktionen bewiesen. Statt der Eigenschaft \(J\) wird dabei eine Eigenschaft \(M\) zugrundegelegt, die sich darin ausspricht, daß die Folge \(f(z_{n_p}z)\) im Kreise \(|z-1|<d\) nicht gleichmäßig konvergiert. Im Zusatz behandelt Verf. in speziellen Fällen die Familie \(f[z\sigma(t)]\). Sie sei in \(z_0\) normal. Es wird gefragt, ob es auf der Kurve \(z=\sigma(t)\) oder dicht dabei eine Punktfolge \(z_n\) gibt, die die Eigenschaft \(J\) bzw. \(M\) besitzt. \textit{Julia} hatte bereits die Frage nach der Existenz der Menge \(E(\sigma)\) derjenigen \(\sigma\) gestellt, für die \(f(z\sigma^n)\) keine normale Familie ist. Verf. zeigt die Existenz von \(E(\sigma)\) für jede meromorphe Funktion \(f(z)\), für die \(\varlimsup\limits_{r\to\infty}\dfrac{T(r)}{(\log(r))^2}= \infty\) ist, und für die es einen Weg nach \(\infty\) gibt, auf dem sie nicht völlig unbestimmt ist. Dabei ist \[ T(r) =\frac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}\operatornamewithlimits{log}^+|f(re^{i\varphi})|d\varphi+ \int_0^r\frac{n(x,\infty)}{x}dx \] und \(n(x,\infty)\) die Zahl der Pole der meromorphen \(f(z)\), deren Betrag unter \(x\) liegt.