On the application of Herr Mellin's integrals to some series. (Q1453356)

Die bekannte Mellinsche Formel \[ e^{-y}=\frac{1}{2\pi i}\int_{k-i\infty}^{k+i\infty}\varGamma(s)y^{-s}ds\qquad [R(y)>0; \;R(k)>0] \] gibt im Verein mit der Riemannschen Funktionalgleichung für die \(\zeta\)-Funktion die Möglichkeit, die Ausdrücke \[ \displaylines{\rlap{\hskip\parindent 1.}\hfill \frac{1}{e_y\pm 1}; \;\frac{1}{e_y\pm e^{-y}} \hfill} \] als \(\zeta\)- (bzw. \(\eta\)-) Integrale vom Typ \(\dfrac 1{e^y-1} = \dfrac{1}{2\pi i} \int\dfrac{\zeta(1-s)y^{-s}}{2\cos\dfrac{\pi}2s}(2\pi)^s\,ds\) darzustellen. \[ \left[\mathfrak R(k)>1; \;\mathfrak R(y)>0; \;\eta(s)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^s} \;\text{für} \;\mathfrak R(s)>1\right]. \] Ersetzt man hier \(y\) durch \(ar\) (\(r\) natürliche Zahl; \(\mathfrak R(a)>0\)), so gelangt man zu Darstellungen von 2. \(\sum\limits_{r=1}^{\infty}\dfrac{r^{\mu}}{e^{2\pi ar}-1}=\varPhi(a,\mu)\) und der entsprechend 1. analogen Reihen durch Integrale wie \(\varPhi(a,\mu)=\dfrac 1{2\pi i}\int\dfrac{\zeta(1-s)\zeta(s-\mu)a^{-s}} {2\cos\dfrac{\pi}2s}\,ds\). Ist dabei \(\mu\) nicht ganz, so läßt sich durch Verschiebung der Integrationsgeraden nach der Seite der negativen reellen Achse das Integral in einen durch Residuen auswertbaren und einen für \(a\to 0\) asymptotisch abschätzbaren Bestandteil spalten. Für \(\mu=2m+1\) ganz, ungerade, kann man in Verfolg der Residuenbetrachtung zu Funktionalgleichungen gelangen wie 3. \(\varPhi\left(\dfrac 1a\right)+(-1)^m a^{2m+2}\varPhi(a)= \dfrac{\varGamma(2m+2)\zeta(2m+2)}{(2\pi)^{2m+2}} \{a^{2m+2}+(-1)^m\}\) (\(m>0\)) und ähnliche für \(m\leqq 0\) sowie die übrigen Reihen 2.