On the zeros of the functions of the parabolic cylinder. (Q1453455)

Eine Untersuchung über die Verteilung der Nullstellen von Lösungen der beiden Differentialgleichungen \[ \begin{aligned} u'' + (z^2 - a^2) u = 0, \tag{1} \\ u'' + (a^2 - z^2) u = 0, \tag{2} \end{aligned} \] \(a \geqq 0\), sowie anschließender Probleme asymptotischer Integration und Wertverteilung. Die allgemeinen Methoden des Verf. für solche Untersuchungen werden in der Einleitung entwickelt, nämlich 1. asymptotische Integration, basiert auf der Liouvilleschen Transformation, 2. Sturmsche Methode, basiert auf einer Integralformel des Greenschen Typus, und 3. Variation gewisser Parameter. Die Nullstellen einer beliebigen Lösung von (1) oder (2) sind sehr regelmäßig verteilt, sie bilden vier unendliche Folgen, die in den Richtungen \(\text{ arg } z = n \dfrac{\pi}2\) für (1) bzw. \(\left( n + \dfrac 12\right) \dfrac{\pi}2\) für (2) gegen Unendlich konvergieren, und deren Punkte gewisse Monotonie- und Konvexitätseigenschaften haben, die bei der Variation der Parameter unverändert bleiben. Dasselbe gilt für die Nullstellen der ersten Ableitung; weiter gilt, daß die Nullstellen der Lösung und die der Ableitung in ganz bestimmtem Sinne einander trennen. Unter den Lösungen von (1) befinden sich die Funktionen von \textit{H. Weber}, die bei Randwertaufgaben des parabolischen Zylinders auftreten. Sie haben nur reelle und rein imaginäre Nullstellen. Außer diesen Lösungen studiert Verf. andere reelle Lösungen sowie die asymptotisch ausgezeichneten Lösungen, die nur zwei benachbarte Nullstellenfolgen haben. Die Variation der Nullstellen mit den Anfangsbedingungen im Ursprung wird ausführlich behandelt, woraus sich die Struktur der Riemannschen Fläche für die Umkehrfunktion des Quotienten zweier unabhängiger Lösungen von (1) ergibt. Die Gleichung (2) wird nicht so ausführlich behandelt. Hier ist die Hauptsache die Diskussion der Whittakerschen Funktion \(D_n (u)\), die für \(u = \sqrt {2}z\), \(n = \dfrac {a^2}2 -1\) eine Lösung von (2) ist. Wenn \(n\) ganz ist, hat \(D_n (u)\) bekanntlich nur \(n\) reelle Nullstellen (\(n>- 1\)), sonst gibt es \([n] + 1\) reelle Nullstellen und außerdem zwei konjugiert komplexe unendliche Nullstellenfolgen. Hier wird die Abhängigkeit der Nullstellen von \(n\), besonders in der Nähe der ganzzahligen kritischen Werte, behandelt. (IV10.)