Sulle curve di livello costante degli integrali di Picard. (Q1453473)

Die Nullstellen der Integranden der (einfachen) Integrale erster Gattung auf einer algebraischen Kurve bzw. der Doppelintegrale erster Gattung auf einer Fläche sind bekannt als die Punktgruppen bzw. Kurven der kanonischen Schar. Hier wird entsprechend gefragt nach den stationären Punkten eines (Picardschen) einfachen Integrals erster Gattung, d. h. nach den Doppelpunkten seiner (transzendenten) Niveaukurven. Die Untersuchung benutzt die Berührungen zwischen den Niveaukurven und den Kurven eines beliebigen Büschels oder Netzes. Ist die Zahl der Doppelpunkte endlich, so ist sie \(J + 4\) (\(J\): Zeuthen-Segresche Invariante). Ist sie unendlich, so ist entweder das Integral konstant längs der Kurven eines irrationalen Büschels vom Geschlecht \(\varrho > 1\), und die Doppelpunkte erfüllen \(2 \varrho - 2\) Kurven des Büschels; oder sie erfüllen eine keinem stetigen System angehörige Teilkurve einer kanonischen Kurve der Fläche. Haben zwei Integrale dieselben Doppelpunkte (endlich oder unendlich viele), so ist jedes eine ganze lineare Funktion des anderen. Schließt man den Fall aus, daß die Fläche ein irrationales Büschel trägt, dessen Geschlecht gleich der Irregularität ist, so bilden die Doppelpunkte aller Integrale erster Gattung eine \((q - 1)\)-dimensionale rationale Mannigfaltigkeit von Gruppen von je \(J + 4\) Punkten. Diese dient als Beispiel einer Schar von Punktgruppen auf einer Fläche; weitere Bemerkungen über ihre Eigenschaften weisen darauf hin, wie hier die, bisher noch nicht entwickelte, allgemeine Theorie solcher Scharen anzugreifen hätte. (V 5 C.)