Sulle varietà abeliane reali. II. (Q1453491)

Bei reellen algebraischen Kurven haben besonders \textit{Klein} und \textit{Weichold} die Realitätseigenschaften der aus der allgemeinen Theorie bekannten Gebilde untersucht. Hier werden in weitem Maße entsprechende, vielfach darüber hinausgehende Ergebnisse bei reellen Abelschen Mannigfaltigkeiten gewonnen, d. h. bei \(p\)-dimensionalen, durch \(2p\)-fach periodische Funktionen von \(p\) einfachen Integralen darstellbaren Mannigfaltigkeiten mit einer involutorischen antibirationalen Substitution \(S\) in sich. Die Integrale erfahren bei \(S\) eine lineare, bis auf additive Perioden involutorische Antisubstitution. Es gibt eine reelle Basis \(u_1,\dots, u_p\), d. h. eine solche, die bei \(S\) nach \(u^{'}_i = \bar{u}_i + c_i\) verwandelt wird. Eine Basis der Periodenwege, Zyklen, erfährt bei \(S\) eine ganzzahlige lineare homogene involutorische Substitution. Bei geeigneter Wahl der Basis wird diese: \[ A^{'}_i=A_i, \quad B^{'}_j= A_j - B_j, \quad B^{'}_t= -B_t, \quad (1 \leqq i \leqq p, \quad 1 \leqq j \leqq \lambda < t \leqq p). \] Solche Zyklen heißen pseudonormal, die von der Wahl der Basis unabhängige Zahl \(\lambda\) der reelle Charakter der Mannigfaltigkeit. Die reelle Basis wird geeignet bestimmt; dann erhält die Periodenmatrix die folgende Gestalt: die eine Hälfte ist die Einheitsmatrix, in der anderen haben nur die \(\lambda\) ersten Glieder der Hauptdiagonale einen von Null verschiedenen Realteil, nämlich \(\frac 12\). Schon auf dieser Stufe können bestimmt werden: die Anzahl der Realitätsklassen (d. h. der nicht durch birationale Transformation verwandten antibirationalen Involutionen), der reellen Mäntel, der Fixpunkte bei den verschiedenen Klassen reeller birationaler Transformationen in sich, sowie die Verteilung der Fixpunkte auf die Mäntel. Es folgt Anwendung auf die Jacobischen Mannigfaltigkeiten reeller algebraischer Kurven. Bisher ist von den Periodenrelationen kein Gebrauch gemacht worden. Bei geeigneter Wahl der Basiszyklen kommt die Riemannsche Bilinearform in die Normalform \(\sum\limits_1^p e_i (x_i y_{p+i} - y_ix_{p+i})\). Soll dabei die pseudonormale Eigenschaft möglichst erreicht werden (vollkommen ist es nicht möglich), so kann die Periodenmatrix \(a_{ik} (i =1,\dots, p\); \(k = 1,\dots, 2p)\) genau eine der folgenden Formen erhalten: \[ \begin{gathered} a_{lk} = e_l\delta_{lk} (k=1,\dots,p), \quad a_{lk} = \frac 12 \varepsilon_{l,k-p} + i \tau_{lk} (l=1, \dots, \lambda; k = p+1, \dots, p+\lambda), \\ a_{lk} = i \tau_{lk} \text{ sonst. } (\tau_{lk} = \tau_{kl} \text{ reell).} \end{gathered} \] \((\varepsilon_{\mu\nu})\) ist die Einheitsmatrix oder die Einheitsmatrix mit umgekehrter Zeilenfolge. Diese beiden Fälle heißen sinngemäß der dia- bzw. orthosymmetrische. Mit diesen Mitteln werden die Realitätsverhältnisse der \((p - 1)\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten auf der \(p\)-dimensionalen untersucht, mit Anwendung auf das Problem der Berührungsformen (gruppi semicanonici). Weiter folgt eine Untersuchung des orthosymmetrischen Falles \(p = \lambda = 2\) mit besonderer Rücksicht auf den Fall \(\tau_{11}\tau_{22} - \tau_{12}^2 = \frac 14\), in dem die Jacobische Mannigfaltigkeit der hyperelliptischen Kurve sich darstellt als Mannigfaltigkeit der Punktepaare auf zwei konjugiert-komplexen elliptischen Kurven. Die Realitätsverhältnisse der Kummerschen Mannigfaltigkeiten werden behandelt und \textit{Rohn}s Ergebnisse auf beliebiges Geschlecht übertragen. Schließlich werden die besonderen Vorkommnisse bei einer singulären Mannigfaltigkeit (mit \(p = 2\)) erörtert. (V 5 F.)