Sur la transformation du p-ième degré d'une fonction automorphe. (Q1453506)

Es handelt sich hier um die Transformation \(p\)-ten Grades der zur Signatur (0, 3; 2, 4, 5) gehörenden Dreiecksfunktion \(\varphi (z)\), wobei \(p\) eine natürliche von 2 und 4 verschiedene Zahl bedeutet. Der Fall \(p = 3\) ist von \textit{Fricke} eingehend behandelt worden (Fricke-Klein, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen II (1912), Anhang). Die dort angegebene arithmetische Erklärung der Gruppe \(\varGamma\) von \(\varphi (z)\) liegt auch dieser Untersuchung zugrunde. Darnach besteht \(\varGamma\) aus den Substitutionen \[ z^{'} = \frac{(a+b\sqrt{j}) z + (c+d\sqrt{j})} {(-c+d\sqrt{j})z + (a-b\sqrt{j})}, \left( \begin{matrix} j^2 + j - 1 = 0 \\ j>0 \end{matrix} \right), \] wobei \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) ganze Zahlen des Körpers \(K(j)\) sind, und die Determinante den Wert 2 oder 4 hat. Zur Transformation läßt Verf. diejenigen Substitutionen \(T\) derselben Bauart und der Determinante \(p\) zu, welche \(\pm i\) zu Fixpunkten haben. Zunächst wird gezeigt, daß für solche \(T\) die Gruppen \(\varGamma\) und \(T^{-1}\varGamma T\) kommensurabel sind, woraus dann bekanntlich folgt, daß zwischen \(\varphi (z)\) und \(\varphi (T(z))\) eine algebraische Relation, die Transformationsgleichung, besteht. Unter der Voraussetzung, daß \(p\) im Körper \(K(j)\) Primzahl ist, wird ferner bewiesen, daß die Galoissche Gruppe dieser Gleichung isomorph mit einer Gruppe der Ordnung \(\dfrac 12 p^2 (p^4 -1)\) ist. Gilt außerdem noch die Voraussetzung \(\left(\dfrac {-5}p\right) = 1\), so hat die Transformationsgleichung den Grad \(p^2 + 1\). Den Schluß bildet die Anwendung auf den Fall \(p = 7\).