Notes on some points in the integral calculus (LIX). (Q1453571)

Fortsetzung der Note LVIII (F. d. M. 50, 198 (JFM 50.0198.*)). Es werden die folgenden Sätze bewiesen: B. Sind \(f(x)\) und \(F(x)\) zwei Funktionen von integrierbarem Quadrat, und sind \(g(x)\) und \(G(x)\) ihre Hilbertschen Transformierten, so ist \[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)F(x)\, dx = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(x)G(x)\, dx. \] C. Es ist \[ \begin{aligned} g(x)& =\frac{1}{\pi} P\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{f(t)}{x-t}\,dt, \\ f(x)& =-\frac{1}{\pi} P\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{g(t)}{x-t}\,dt \\ \end{aligned} \] für ``fast alle'' \(x\). \(P\) bezeichnet dabei den Cauchyschen Hauptwert. (IV 3 D.)