Sur le prolongement analytique des fonctions monogènes au sens de Cauchy en fonctions isogènes au sens de M. Volterra. (Q1453572)

\textit{Volterra} hat in seinen wohlbekannten Arbeiten über Kurvenfunktionale auch imaginäre Funktionale von geschlossenen Kurven des gewöhnlichen Raumes betrachtet; er hat namentlich den Begriff der isogenen Funktion eingeführt: wenn zwei Funktionale \(F_1 |[C]|\) und \(F_2 |[C]|\) gegeben sind, die gewissen Bedingungen genügen, so heißt das eine eine isogene Funktion des anderen, wenn der Grenzwert des Quotienten \[ \frac{F_1 |[C']| - F_1 |[C]|}{F_2 |[C']| - F_2 |[C]|} \] existiert (dabei sind \(C\) und \(C'\) zwei Kurven, die nur in der Umgebung eines gemeinsamen Punktes \(M\), und zwar unendlich wenig, voneinander abweichen) und nur von der Lage des Punktes \(M\) und nicht von der Grenzlage der gemeinsamen Normalen der beiden Kurven in \(M\) abhängt. In der vorliegenden Arbeit versucht Mandelbrojt den Zusammenhang zwischen diesem Begriff und dem wohlbekannten Begriff der auf einer beliebigen Fläche definierten monogenen Funktion herzustellen. Zu diesem Zweck zeigt Verf., daß die isogenen Funktionen als eine Art analytischer Fortsetzungen der monogenen Funktionen betrachtet werden können. Aber es handelt sich nicht um eine analytische Fortsetzung im Weierstraßschen Sinne, sondern um eine derartige, wie man sie erhält, wenn man eine in einem gewissen Intervall \(\langle a, b\rangle\) gegebene Funktion \(f(x)\) einer einzigen Variablen fortsetzt zu einer analytischen Funktion \(F(x,y)\) zweier Variablen, die allein der Bedingung unterworfen ist, sich im Intervall \(\langle a, b\rangle\) der \(x\)-Achse auf \(f(x)\) zu reduzieren.