Sur le prolongement de certaines fonctionnelles. (Q1453574)

Die Lektüre der vorliegenden Arbeit wird leider durch zahlreiche Versehen sehr erschwert \(\Bigl(\)z. B. muß es S. 303, 6 statt \(\omega(x) >\dfrac{1}{n}\) heißen \(\omega(x) <\dfrac{1}{n}\Bigr)\). Verf. beweist folgende schöne Sätze: 1. \(E\) sei ein metrischer Raum, in dem sich je zwei Punkte verbinden lassen, \(B\) eine in ihm überall dichte Teilmenge. Notwendig und hinreichend für die Existenz einer in \(B\) stetigen Funktion, die sich in keinen Punkt von \(E - B\) stetig fortsetzen läßt, ist, daß \(B\) eine \(G_{\delta}\)-Menge ist. (Zum Begriff ``\(G_{\delta}\)-Menge'' siehe \textit{Hausdorff}, Mengenlehre.) 2. \(E\) sei der Raum aller stetig \((p -1)\)-mal differenzierbaren Funktionen (einer Variabeln), \(B\) der aller \(p\)-mal stetig differenzierbaren Funktionen. Dann ist \(B\) keine \(G_{\delta}\)-Menge von \(E\) (sondern eine \(G_{\delta\sigma}\)-Menge). Die Beweise sind sehr einfach; der erste Satz ergibt sich sofort, wenn man die Funktion \(\omega(x)\), die Schwankung der gegebenen Funktion im Punkte \(x\), einführt. (IV 3 C.)