Note on the paper, of Dr. Bevan B. Baker, An extension of Heaviside's operational method of solving differential equations. (Q1453580)

Die \textit{Baker}sche Arbeit steht in den Proceedings Math. Soc. Edinburgh 42 (1924), 95103. Die vorliegende Arbeit läuft im wesentlichen auf eine ziemlich umständliche und nicht fehlerfreie Übersetzung von Tatsachen, die im symbolischen Kalkül wohlbekannt sind, in eine allgemeinere Sprache hinaus. Sind \(f\) und \(F\) Polynome und \(\theta\) eine distributive Operation, so kann man für die Gleichung \[ F(\theta)y(x) = f(\theta)\varphi(x), \] wo \(\varphi\) bekannt, \(y\) gesucht ist, zunächst die symbolische Lösung anschreiben: \[ y = \frac{f(\theta)}{F(\theta)}\varphi(x). \] Läßt sich nun \(\dfrac{f}{F}\) zerlegen in der Form \[ \frac{f(\theta)}{F(\theta)} = \sum_{\nu=1}^n \frac{f_{\nu}(\theta)}{F_{\nu}(\theta)}, \] und kann man \(\dfrac{f_{\nu}(\theta)}{F_{\nu}(\theta)}\varphi(x)\) einen Sinn beilegen, d. h. gibt es Lösungen \(y_{\nu}\) von \[ F_{\nu}(\theta)y_{\nu}(x) = f_{\nu}(\theta)\varphi(x), \] so ist \[ y= \sum \frac{f_{\nu}(\theta)}{F_{\nu}(\theta)}\varphi(x) =\sum y_{\nu}(x). \] Ist z. B. der Grad von \(f\) kleiner als der von \(F\), so zerlegt man \(\dfrac{f}{F}\) in Partialbrüche: \[ \frac{f(\theta)}{F(\theta)} = \sum\frac{r_{\nu}}{\theta-\alpha_{\nu}}, \] wo \(r_{\nu}\) das Residuum von \(\dfrac{f}{F}\) an der Nullstelle \(\alpha_{\nu}\) von \(F\) ist. In diesem Falle ist also \[ y = \sum r_{\nu}\frac{\varphi(x)}{\theta-\alpha_{\nu}}. \] Ist speziell \(\theta=\dfrac{d}{dx}=D\), so läßt sich \(\dfrac{\varphi(x)}{\theta-\alpha}\) definieren. Es ist nämlich die Lösung von \[ (D-\alpha)y\equiv y'-\alpha y =\varphi, \] d. h. \[ y(x)=\int\limits_0^x e^{\alpha(x-z)}\varphi(z)\, dz. \] Die Gleichung \[ F(D)y(x) = f(D)\varphi(x) \] ist also auf die genannte Art lösbar. S. auch die Arbeit desselben Verf. in IV 11. (IV 9.)