Le principe de dualité et la théorie des groupes simples et semi-simples. (Q1453598)

\textit{A. Weinstein} hat sämtliche Darstellungen \(n\)-ten Grades der (uneigentlichen) Gruppe aller Matrizen \(n\)-ten Grades aufgesucht (F. d. M. 49, 552 (JFM 49.0552.*)). Das veranlaßt Verf., die sämtlichen Automorphismen der halbeinfachen Gruppen festzustellen. Die kontinuierliche Automorphismengruppe einer halbeinfachen Gruppe fällt bekanntlich mit der adjungierten zusammen, besteht also nur aus inneren Automorphismen. Dagegen gibt es bereits bei der allgemeinen unimodularen Gruppe noch eine Schar äußerer Automorphismen (Transformationsgesetz der Hyperebenen). Die Zahl der Scharen, d. h. der Komponenten, der Automorphismengruppe zu berechnen, hat sich Verf. in der vorliegenden Arbeit zum Ziel gesetzt. Zunächst zeigt er, daß die von einem allgemeinen infinitesimalen Element erzeugten maximalen Abelschen infinitesimalen Untergruppen nicht nur im Kleinen, sondern sogar im Großen ähnlich vermöge innerer Automorphismen sind. Diese Tatsache gestattet es, sich auf die Automorphismen zu beschränken, die eine bestimmte maximale Abelsche Untergruppe invariant lassen. Diese Transformationen lassen sich durch die Substitutionen, denen sie die Wurzeln unterwerfen, im wesentlichen vollständig charakterisieren. Es kommt also nur darauf an, die Substitutionen zu bestimmen, die ganzzahlige Relationen zwischen den Wurzeln invariant lassen, und diejenigen unter ihnen herauszusuchen, die nicht zur adjungierten Gruppe gehören. Das geschieht auch für die Haupttypen der einfachen Gruppen, und es wird die Formel angegeben, nach der sich die Familienzahl bei den halbeinfachen berechnet. An Beispielen wird die geometrische Bedeutung des Ergebnisses erläutert. (II 5, V 5 A.)