Integrationslose Berechnung von Differentialinvarianten gewisser Transformationsgruppen des Raumes. (Q1453612)

Läßt eine Gruppe des \(R_n\) die Mongesche Gleichung 2. Grades \(\sum\varphi_{ik} (x)\, dx_idx_k = 0\) mit der nicht verschwindenden Determinante \(|\varphi_{ik}| = \varPhi\) invariant, so läßt sie, wie Verf. zeigt, auch den Ausdruck \[ \frac{d\omega\varPhi^{\frac12n}} {\left(\sqrt{\sum\varphi_{ik}dx_idx_k}\right)^n } \] invariant, unter \(d\omega\) das Raumelement des \(R_n\) verstanden, während \(\sqrt{\sum\varphi_{ik}dx_idx_k}\) als Bogenelement 1. Ordnung einer Kurve gedeutet werden kann. Für die konforme Gruppe des \(R_3\) kennt man daher diesen invarianten Ausdruck. Indem er diese Gruppe bis zur 3. Ordnung erweitert und untersucht, wann die so entstehende Matrix von 10 Reihen und 9 Spalten einen \(\text{Rang} < 9\) hat, findet Verf. ein Bogenelement 3. Ordnung, das bei jeder Transformation der Gruppe mit einer Potenz der Funktionaldeterminante multipliziert wird. Hieraus und aus \(d\omega\) bildet er mit Hilfe des früheren invarianten Ausdrucks ein bei der Gruppe invariantes Bogenelement und ein ebensolches Raumelement. Verf. stellt dann gewisse gemischte invariante Bogen- und Raumelemente der Gruppe auf und leitet daraus durch Differentiation die beiden niedrigsten Differentialinvarianten ab. Das Verfahren ist so eingerichtet, daß es auch bei jeder mit der konformen Gruppe ähnlichen Gruppe diese Differentialinvarianten ohne Integration liefert. Verf. drückt das invariante Bogenelement der konformen Gruppe auch durch Bewegungsinvarianten aus und berichtigt dadurch die 1894 von \textit{Heineck} in seiner Leipziger Dissertation angegebene Form.