Über die Liesche Determinante \(\varDelta\) und ihre Bedeutung für die Differentialinvarianten. (Q1453613)

Bei einer \(G_r\) von Punkttransformationen der Ebene sei die Liesche Determinante \(\varDelta\) der \((r- 2)\)-mal erweiterten Gruppe nicht null. Ist dann \(ds = \omega\, dx\) das niedrigste invariante Bogenelement und \(\varOmega (dx\mathfrak dy- dy\mathfrak dx)\) das niedrigste invariante Flächenelement, so wird der Ausdruck \[ D = \varDelta\,.\, \varOmega^{r-1} \,.\, \omega^{-\frac12(r-2)(r+1)} \] bei jeder Transformation von \(G_r\) mit einem konstanten Faktor multipliziert. Daher ist \(d \log D/ds\), wenn es nicht verschwindet, eine Differentialinvariante. Ein ähnlicher Satz gilt, wenn \(G_r\) (\(r > 3\)) eine Gruppe von Berührungstransformationen ist. Hierdurch läßt sich zeigen, daß bei vielen Gruppen der Ebene die Differentialinvarianten ohne Integration aus den infinitesimalen Transformationen der Gruppe abgeleitet werden können.