Über Liesche Determinanten bei räumlichen Transformationsgruppen. (Q1453614)

Hat man im Raume eine \((2\mathfrak r + 3)\)-gliedrige Gruppe von Punkttransformationen und betrachtet man \(y\), \(z\) als Funktionen von \(x\), so erhält man bei der Erweiterung bis zur \(\mathfrak r\)-ten Ordnung eine \((2\mathfrak r + 3)\)-reihige Determinante. Verschwindet diese nicht identisch, so hat die Gruppe ein invariantes Bogenelement und ein ebensolches Raumelement, und man kann ohne Integration eine Differentialinvariante \((\mathfrak r + 1)\)-ter Ordnung herstellen, die allerdings unter Umständen verschwindet. Ist die Gliederzahl \[ \tfrac12 (\mathfrak r+1)(\mathfrak r + 2)+2, \] betrachtet man \(z\) als Funktion von \(x\), \(y\) und erweitert bis zur \(\mathfrak r\)-ten Ordnung, so erhält man eine Determinante zweiter Art. Ist diese nicht gleich Null, so gibt es ein invariantes Flächenelement und ein ebensolches Raumelement und man kann eine Funktion der Differentialquotienten herstellen, die bei jeder Transformation der Gruppe mit einem konstanten Faktor multipliziert wird, die aber allerdings unter Umständen selbst eine Konstante ist.