Kurven mit linearer natürlicher Gleichung. (Q1453619)

Ist bei einer \(r\)-gliedrigen Gruppe der Ebene die niedrigste Differentialinvariante \(I\) von \((r-1)\)-ter Ordnung, so kann man, wie Verf. zuerst gezeigt hat, immer erreichen, daß \(I\) linear in \(y^{(r-1)}\) wird. Es hat dann einen Sinn, als natürliche Gleichung einer Kurve der Gruppe gegenüber die Relation zu bezeichnen, die zwischen \(I\) und dem Integrale \(s\) des invarianten Bogenelementes besteht. Verf. macht das für die allgemeine projektive Gruppe der Ebene. Er berechnet auf neue Weise die zugehörigen \textit{Pick}schen kovarianten Koordinaten, die er übrigens normiert, um sie von der ihnen anhaftenden Unbestimmtheit zu befreien. Mit Hilfe der Pickschen Identitätsbedingungen führt er nun die Bestimmung aller Kurven mit gegebener natürlicher Gleichung auf eine lineare homogene gewöhnliche Differentialgleichung dritter Ordnung zurück, und behandelt insbesondere die natürliche Gleichung: \(I = \alpha s + \beta\). Endlich macht er dieselben Entwicklungen für die spezielle lineare Gruppe und zeigt, daß jede Kurve, die für diese Gruppe die natürliche Gleichung: \(I = \alpha s+ \beta\) hat, für die allgemeine projektive Gruppe eine von der Form: \(\bar I = \dfrac1{18}\bar s + \bar\beta\) bekommt. (V 6 C.)