On the relation between inverse factorial series and binomial coefficient series. (Q1453699)

Es sei \[ \varOmega(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_{n+1}n!}{(x+1)(x+2)\ldots(x+n+1)}; \tag{1} \] es wird untersucht, in welchem Zusammenhang (1) mit \[ \varOmega(0) + \binom h1 \varDelta\varOmega(0) + \binom h2 \varDelta^2 \varOmega(0) + \cdots \tag{2} \] steht. (Verallgemeinerung \textit{Nörlund}scher Ergebnisse: Acta Math. 37 (1914); F. d. M. 45, 394 (JFM 45.0394.*)-397. Annales Ecole norm. 40 (1923); F. d. M. 50, 642 (JFM 50.0642.*)-643.) Es ergibt sich z. B., daß die Konvergenz von \(\sum | a_{n+1}|\) im Konvergenzbereich von (1) und für \(\mathfrak R (x +h+ 1) > 0\) \[ \varOmega(x+h)=\varOmega(x)+ \binom h1\varDelta\varOmega(x) + \binom h2\varDelta^2\varOmega(x)+\cdots \tag{3} \] nach sich zieht. Ferner: Ist \(\mathfrak R (m) > 0\) und die Reihe (1) für \(x = m\) konvergent oder \((C, r)\) summierbar zu \(\varOmega (x)\), so ist \[ \varOmega(m)+\binom{x-m}1 \varDelta\varOmega(m) + \binom{x-m}2\varDelta^2\varOmega(m)+\cdots \] für \(\mathfrak R (x - m) > 0\) konvergent und zwar gleich \(\varOmega(x)\). Schließlich beschäftigt sich Verf. mit der analytischen Fortsetzung und der Potenzreihenentwicklung der Funktionen (1). (IV 4.)