Les travaux récents sur le degré d'indétermination des solutions d'un système différentiel. (Q1453723)

Das Problem, um das es sich handelt, hat \textit{Riquier} 1893 (s. F. d. M. 25, 590-594) für die von ihm sogenannte ``orthonom passive'' kanonische Form der Systeme gelöst und \textit{Delassus} hat 1896 (F. d. M. 27, 267 (JFM 27.0267.*)) versucht, die schwerfälligen Untersuchungen Riquiers zu vereinfachen durch Benutzung einer kanonischen Form, die auf einer sehr naturgemäßen Klassifikation der Ableitungen einer Funktion beruhte. \textit{Gunther} und \textit{Robinson} zeigten 1913 (F. d. M. 44, 424 (JFM 44.0424.*)), daß die Delassussche kanonische Form nicht immer herstellbar ist, und gaben Wege an, diesen Mangel zu beseitigen. Verf. hat selbst 1913 (F. d. M. 44, 423 (JFM 44.0423.*)) gezeigt, daß das Problem mit \(n\) unabhängigen Veränderlichen stets auf den Fall von \(n-1\) unabhängigen Veränderlichen zurückführbar ist, wenn man sich auf den zuerst 1894 von \textit{Tresse} bewiesenen Satz stützt (s. F. d. M. 25, 641 (JFM 25.0641.*)-642), daß jedes System von partiellen Differentialgleichungen mit \(\varkappa\) unbekannten Funktionen von \(n\) Veränderlichen, das nicht auf Widerspruch führt, eine endliche Basis hat, aus der alle Gleichungen des Systems durch Differentiation und Kombination folgen. Er hat sodann in seiner Thèse (1920; F. d. M. 47, 440) gezeigt, daß alle die Fragen über das allgemeinste System, das aus einem vorgelegten System von partiellen Differentialgleichungen mit einer unbekannten Funktion durch Differentiation ableitbar ist, eine arithmetische Fassung erhalten können. Da man nämlich durch Differentiation immer ein System erhält, in dem die Ableitungen höchster Ordnung nach \(x_1\), \(\ldots\), \(x_n\) linear auftreten, so ersetzt man die Ableitungen höchster Ordnung durch Monome \(x_1^{\alpha_1}\ldots x_n^{\alpha_n}\) und wird so auf die Untersuchung des Systems geführt, das aus einem System von ganzen homogenen Funktionen bestimmter Ordnung von \(x_1\), \(\ldots\), \(x_n\) durch Multiplikation mit allen Monomen \(x_1^{\beta_1}\cdots x_n^{\beta_n}\) hervorgeht. Man kommt so auf eine Theorie, die zu einem wesentlichen Teile schon in der von \textit{Hilbert} 1890 (F. d. M. 22, 133 (JFM 22.0133.*)-135) entwickelten Theorie der Systeme von algebraischen Formen steckt, bei der aber die Beweise wesentlich an Einfachheit gewonnen haben. Man wird dadurch in den Stand gesetzt, durch eine endliche Anzahl von Operationen zu entscheiden, ob ein vorgelegtes System vollständig integrabel ist, und die Anzahl der willkürlichen Konstanten und der willkürlichen Funktionen zu ermitteln, von denen die allgemeine Lösung abhängt. Zu bemerken ist überdies, daß ein System mit mehreren unbekannten Funktionen stets auf eines mit einer Unbekannten zurückführbar ist. Nachdem der Verf. noch über Untersuchungen von Gunther und Delassus berichtet hat, bespricht er \textit{Cartans} allgemeine Theorie der Systeme von Pfaffschen Gleichungen, die einen andern Weg zur Lösung des besprochenen Problems liefert, und endlich \textit{Vessiots} dazu in gewissem Sinne dualistische Theorie, die auf der Betrachtung linearer Systeme von infinitesimalen Transformationen beruht.