Über eine Erweiterung des Poissonschen Integrals. (Q1453759)

Verf. behandelt die Randwertaufgabe für den Fall, daß die sonst stetige reelle Randwertefunktion \(\psi(t)\) an einer Stelle so stark unendlich wird, daß das Integral nicht mehr existiert. Als Bereich wird die Halbebene und als Unstetigkeitsstelle der Punkt \(\infty\) angenommen. Die Lösung existiert und läßt sich durch Hinzufügung konvergenzerzeugender Glieder zum Kern des Poissonschen Integrals gewinnen. Bezüglich der Eindeutigkeit ergibt sich: Konvergiert \[ \int\limits^{\infty} \frac{|\psi(t)| +|\psi(-t)|}{t^{\lambda+1}}\, dt \] für ein \(\lambda \geqq 1\), ist \(V(x)\) eine Lösung und \(\mu(r) = \mathop{\text{Max}}\limits_{|x|=r} |\sin\varphi V(x)| (\varphi = \arg x)\), gilt ferner \[ \varliminf\limits_{r=\infty} \frac{\mu(r)}{r^{\lambda}} =0, \] so läßt sich \(V(x)\) bis auf harmonische Polynome vom Grade \(< \lambda\) auf die oben geschilderte Weise darstellen. Im Fall \(\lambda=1\) hat man das gewöhnliche Poissonsche Integral zu bilden; die Lösung ist eindeutig bestimmt.