Particular solutions of the equation of conduction of heat in one dimension. (Q1453783)

Setzt man in einer Differentialgleichung mit der Variablen \(t\) den Differentialoperator \(\displaystyle \frac{d}{dt}\) gleich \(p\) und behandelt die entstehende symbolische Gleichung wie eine gewöhnliche, so möge sich als Lösung ergeben: \[ v=\frac{Y(p)}{Z(p)}v_0 \qquad (v_0=\text{const.}). \] Soll \(v\) (und erforderlichenfalls auch eine Anzahl von Ableitungen) für \(t = 0\) verschwinden, so ergibt sich nach \textit{Heaviside} aus dieser symbolischen Lösung die effektive in folgender Weise: \[ v = v_0 \left[ \frac{Y(0)}{Z(0)} + \sum_m \frac{Y(p_m)}{p_mZ'(p_m)} e^{p_mt}\right], \] wo die \(p_m\) die (einfachen) Wurzeln von \(Z(p)= 0\) sind. -- Nach \textit{Carson} entspricht der allgemeineren symbolischen Lösung \[ v=\frac{Y(p)}{Z(p)}e^{\alpha t} \] die effektive Lösung: \[ v=\frac{Y(\alpha)}{Z(\alpha)}e^{\alpha t} \sum_m \frac{Y(p_m)}{(\alpha-p_m)Z'(p_m)} e^{p_mt}. \] Vermittels der Fourierschen Integraldarstellung: \[ \varphi(t) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \left[ e^{iu(\lambda-t)} +e^{-iu(\lambda-t)}\right] \varphi(\lambda)\, d\lambda\, du \] wird dieses Resultat auf die symbolische Gleichung \[ u = \frac{Y(p)}{Z(p)}\varphi(t) \] übertragen, indem der Operator \(\displaystyle \frac{Y(p)}{Z(p)}\) unter das Doppelintegral verschoben und für \(\displaystyle \frac{Y(p)}{Z(p)} e^{\pm iut}\) der Carsonsche Wert eingesetzt wird. Es ergibt sich: \[ u = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} du\frac{Y(iu)}{Z(iu)}e^{iut} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} d\lambda e^{-iu\lambda}\varphi(\lambda) \frac{i}{\pi} \sum\limits_{m}\frac{Y(p_m)}{Z'(p_m)}e^{p_mt} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-\lambda p_m}\varphi(\lambda)d\lambda. \] (Anm. d. Ref: Die Ableitungen sind rein formal, Gültigkeitsbedingungen werden nicht untersucht.) Diese Methode wird nun zur Integration der Wärmeleitungsgleichung \[ \frac{\partial v}{\partial t} =\varkappa\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} \quad (0<x<l) \] bei der Anfangsbedingung \[ v = f (x) \;\text{für}\;t = 0 \] unter verschiedenen Randbedingungen für \(x = 0\) und \(x = l\) angewandt. Zunächst wird durch \[ v = u+f(x) \] eine neue Funktion \(u\) eingeführt, die für \(t = 0\) verschwindet, was für die Anwendbarkeit der Methode wesentlich ist, und außerdem wird \(f\) als in eine Fourierreihe entwickelbar angenommen: \[ f(x) = \sum a_n \sin \frac{n\pi x}{l}. \] Die Differentialgleichung geht dann mit \(\dfrac{\partial}{\partial t}= p\) in die symbolische Gleichung \[ \varkappa\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} - pu = \varkappa\sum a_n \frac{n^2 \pi^2}{l^2} \sin \frac{n\pi x}{l} \] über, deren Lösung z. B. bei den Randbedingungen \[ v = 0 \;\text{für} \;x = 0 \;\text{und} \;x = l \] lautet: \[ u = - \varkappa\frac{\pi^2}{l^2} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^2a_n \sin \displaystyle \frac{n\pi x}{l}}{\varkappa\displaystyle \frac{n^2\pi^2}{l^2}+p}. \] Dem allgemeinen Glied dieser symbolischen Summe entspricht nach der oben abgeleiteten Formel die Funktion \[ -a_n \sin \frac{n\pi x}{l} + a_n \sin \frac{n\pi x}{l} e^{-\varkappa\frac{n^2\pi^2}{l^2}t}, \] sodaß sich für \(v\) die bekannte Lösung \[ v = \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \sin \frac{n\pi x}{l} e^{-\varkappa\frac{n^2\pi^2}{l^2}t} \] ergibt. -- Auf analogem Weg wird die Lösung für andere Randbedingungen gefunden. (IV 7.)