Sur les singularités d'un passage à la limite effectué dans la solution d'une équation aux dérivées partielles. (Q1453787)

Verf. betrachtet eine reibende Flüssigkeit, welche bis zur Zeit \(t = 0\) auf einer horizontalen Ebene ruht; zur Zeit \(t = 0\) legt man in jedem Punkt der Flüssigkeit eine konstante Kraft \(k\) pro Masseneinheit parallel der \(x\)-Achse an. Ist \(u\) die Geschwindigkeitskomponente in der \(x\)-Richtung, \(\nu\) der Reibungskoeffizient, so hat man \(\rlap{1.}\)\hfill \(\dfrac{\partial u}{\partial t} = k+\nu\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}\) \hfill{} \noindent mit den Nebenbedingungen \(\rlap{2.}\)\hfill \(u(z,t)=0\) für \(z=0\), \(t\geqq 0\),\hfill{} \(\rlap{3.}\)\hfill \(u(z,t)=0\) für \(z\geqq 0\), \(t=0\),\hfill{} \noindent wodurch \(u\) eindeutig bestimmt ist. Setzt man \(\nu = 0\), so erhält man als einzige Lösung, welche 1. und 3. erfüllt, \(u =kt\), die 2. nicht genügt. Das Interessante ist nun, daß man für positive \(\nu\) das Problem explizit lösen kann. Geht man dann zu \(\nu\to 0\) in dieser Lösung über, so erhält man: \(u (z, t) = kt\) für \(z > 0\), \(t\geqq 0\), \(u(0,t)=0\) für \(t\geqq 0\), also für positive \(z\) dieselbe Lösung wie bei \(\nu = 0\), aber in \(z = 0\) Unstetigkeit.