Sur un théorème de la théorie des surfaces minima. (Q1453807)

\textit{T. Carleman} hat 1921 (F. d. M. 48, 590 (JFM 48.0590.*)) den Satz bewiesen: Wird ein einfach zusammenhängendes Minimalflächenstück des Flächeninhalts \(A\) von einer Kurve der Länge \(L\) begrenzt, so besteht die Ungleichung \[ A\leqq \frac {L^2}{4\pi}. \] Das Gleichheitszeichen gilt nur für Kreisscheiben. Während Carlemans Beweis stark funktionentheoretisch und rechnerisch verläuft, gibt \textit{Razmadzé} (unter Mitarbeit von \textit{Weill} und \textit{Paul Lévy}) einen mehr differentialgeometrischen Beweis mit Benutzung der adjungierten Minimalfläche und folgender Ungleichung: aus \(dx^2 = dx_1^2 +dx_2^2 +dx_3^2\) folgt: \[ \left(\int dx\right)^2\geqq \left(\int dx_1\right)^2 + \left(\int dx_2\right)^2 + \left(\int dx_3\right)^2. \] Man vergleiche den unter engeren Voraussetzungen geführten ganz einfachen Beweis von \textit{W. Blaschke}, der am Schluß der Carlemanschen Arbeit mitgeteilt ist.