Invarianten bei der Variation vielfacher Integrale. (Q1453818)

Es sei durch \(x_i = \varphi_i(u_1,\ldots,u_n)\), \(i = 1,\ldots,n +1\) eine Hyperfläche im \((n +1)\)-dimensionalen Raum definiert. Es werde gesetzt: \(x_{i,p} = \dfrac{\partial x_i}{\partial u_p}\), \(x_{i,pq} = \dfrac{\partial^2 x_i}{\partial u_p\partial u_q}\); \(\varDelta_i\) sei die Determinante, die aus der Funktionalmatrix durch Streichen der \(i\)-ten Spalte entsteht, \[ \varDelta=\sqrt{\varSigma \varDelta_i^2}\,. \] \(W_i\) sei definiert durch die Variation \[ \delta I = \int W_i \delta x_i\,du_1\ldots du_n \] des Integrals \[ I = \int F(x_i,x_{i,p})\,du_1\ldots du_n. \] Ferner sei \[ F_{pq} = \sum_i \frac{\partial ^2 F}{\partial x_{i,p}\partial x_{i,q}}. \] Dann ist \[ -\frac {W\varDelta}{\root{2n}\of{F^{n+2}|F_{pq}|}}, \] die verallgemeinerte mittlere Krümmung, für \(I\) als Oberfläche, eine absolute Invariante gegenüber Punkt- und Parametertransformationen (letztere, soweit sie \(I\) invariant lassen). Das über \[ \frac{\root{2n}\of{F^{n+2}|F_{pq}|}} {\varDelta} \] erstreckte Volumintegral im \((n+1)\)-dimensionalen Raum (in dem für \(x_{i,p}\) sein Wert gemäß einer ein \((n+1)\)-dimensionales Raumstück schlicht und lückenlos erfüllenden Hyperflächenschar einzusetzen ist) ist eine absolute Invariante gegenüber Parametertransformationen wie oben und vom Gewicht Eins gegenüber Punkttransformationen. (IV 8.)