On the moments of standard deviations and of correlation coefficient in samples from normal population. (Q1453872)

Es sei \(y = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\mu}}e^{\tfrac{-(x-x_0)^2}{2\mu}}\) die (normale) Verteilung von \(x\) im Kollektiv, \(\bar{x}\) der Mittelwert, \(\bar{\mu}\) die Streuung in einer Probe von \(s\) Elementen. Verf. bestimmt die Verteilungsfunktion von \(\bar{\sigma} = \sqrt{\bar{\mu}}\) so: es sei \(M_h\) das \(h\)-te Moment von \(\bar{\mu}\). Die Bestimmung einer erzeugenden Funktion \(\varphi(\alpha)\) der Momente, d.h. \(\Bigl[\dfrac{d^h\varphi (\alpha)}{d\alpha ^h}\Bigr]_{\alpha =0}=M_h\) führt auf ein Integral der Form \[ \int\limits^\infty_{-\infty}e^{-p\varSigma u^2-2q\varSigma uu'}dU\biggl(\sum u^2= \sum^s_{i=1}u^2_i;\;\sum uu'=\sum^{s-1}_{i=1}\sum ^s_{j=i+1}u_iu_j; dU=du_1\cdot du_2\cdots du_s; p>0\biggr) \] das bestimmt wird. Andererseits, sei \(y=f(z)\) die Verteilungsfunktion von \(z =\bar{\mu}\) in Proben, so ist \[ M_h = \int\limits^\infty_0 f(z)\,z^h\,dz = \biggl[\dfrac{d^h}{d\alpha^h}\int f(z)e^{\alpha z}\,dz\biggr]_{\alpha =0}, \] also \(\int\limits^\infty_0 f(z)\,e^{\alpha z}\,dz=\varphi (\alpha)\). Die Lösung dieser Integralgleichung mit der Nebenbedingung \(\int\limits^\infty _0 f(z)\,dz = 1\) ist nach \textit{Steckloff} (Mémoire de l'Académie impériale des sciences de St. Petersbourg 32 (1914), Nr. 4) eindeutig bestimmt und gleich \(y=\biggl(\dfrac{s}{2\mu}\biggr)^{\tfrac{s-1}{2}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{\Bigl(\dfrac{s-1}{2}\Bigr)}} \cdot z^{\tfrac{s-3}{2}}\cdot e^{-\tfrac{sz}{2\mu}}\). Die Verteilung von \(\bar{\sigma} =\sqrt{\bar{\mu}}\) wird nun bestimmt nach \textit{Student} (Biometrika 6 (1908), 1-25). Verf. überträgt diese Methode auf den Fall zweier normal verteilter Variablen und bestimmt die Momente \(M_{kk}\) und die Verteilung der \(\bar{\mu}_{ik}\). Im 2. Teil wird die Methode angewandt zur Bestimmung der Produktmomente von \(\bar{\mu}_{20}, \bar{\mu}_{02}, \bar{\mu}_{11}\), der Verteilung dieser Größen, ferner der Momente \(R_n =E(\bar{r}^{n})\) des ``empirischen'' Korrelationskoeffizienten \(\bar{r} = \dfrac{\mu_{11}}{\sqrt{\bar{\mu}_{20}\bar{\mu}_{02}}}\) und der Verteilung von \(\bar{r}\) im Falle \(r = 0\) (d. h. \(x\) und \(y\) sind im Kollektiv nicht korreliert).